Si  definisce vettore ogni classe di equivalenza di segmenti orientati AB nel piano.
Ad ogni segmento orientato AB associamo:
a)  la direzione : determinata dalla retta cui appartiene il segmento
b) il verso : determinato dal senso in cui si percorre il segmento cioè quello che porta da A a B
c) il modulo o intensità che è la misura del segmento AB

Un vettore si indica con il simbolo

Due vettori sono uguali se hanno stesso modulo , stessa direzione , stesso verso
Un vettore si dice nullo se ha modulo zero , verso e direzione arbitrari
Si chiama versore un vettore di modulo unitario
Due vettori si dicono opposti  se hanno uguale direzione e modulo ma verso opposto
Due vettori non nulli si dicono paralleli  se hanno la stessa direzione

1. Individua quali tra le seguenti proposizioni è vera e quale falsa

	V	F
			Un versore è un vettore di modulo zero
			Il vettore nullo ha direzione e verso stabiliti
			Un vettore è individuato da tre elementi
			Vettori paralleli hanno stesso verso
			Vettori opposti hanno direzione opposta
			Vettori uguali hanno stessa direzione , stesso verso e stesso modulo

Siano

due vettori non nulli  e sia  q  l'angolo da essi formato si definisce prodotto scalare il numero

In particolare due vettori si dicono perpendicolari se il loro prodotto scalare è nullo cioè

2. Considera i vettori

il prodotto scalare vale

    30
    -30
   
   

Nel piano cartesiano consideriamo i punti A(x_A;y_A)  e   B(x_B;y_B) allora il vettore

Ogni punto P del piano cartesiano può essere visto come il secondo estremo di un vettore le cui componenti cartesiane sono le coordinate del punto P, il modulo di tale vettore sarà quindi la lunghezza del segmento OP

Questa formula permette di trovare il modulo di un vettore qualora se ne conoscano le componenti
Per determinare la direzione che è individuata dall'angolo orientato  che il vettore forma con la direzione positiva dell'asse x  si ottiene

3. Assegnato il vettore

determina il suo modulo

    7/2
    5/2
    -1/2
    3

4. Calcolare l'angolo che il seguente vettore forma con la direzione positiva dell'asse x


    -30°
    30°
    60°
    -60°

5. Calcolare il modulo del vettore AB con A(3;2) e B(-1,4)

   
   
   
   

Nel piano cartesiano il vettore somma ha come componenti le somme delle componenti

Il prodotto di un vettore per uno scalare diventa così

Il prodotto scalare già definito precedentemente diventa :

dal confronto delle due formule si ricava la formula che permette di  determinare l'angolo formato da due vettori

6. Dati i vettori

calcola le componenti del vettore 


   
   
   
   

7. Calcolare il prodotto scalare dei vettori


    31
    17
    60
   

8. Determinare l'angolo formato  da due vettori sapendo che

                     2 -2 1/2 -1/2        quindi 120° 150° 30° 60°  

9. Le componenti di un vettore sono

Determinare l'angolo che esso forma con l'asse x

    45°
    60°
    30°
    120°

10. Determinare le componenti cartesiane del vettore a  sapendo che


   
   
   
   

11. Determina per quale valore di h i seguenti vettori sono perpendicolari


    h=1
    impossibile
    h=6    h=-6
    h=0     h=6

12. Per quali valori di a i seguenti vettori sono paralleli?


    a=1
    a=0     a=6
    a=1    a=0
    a=3    a=1

13. In un piano cartesiano sono dati i punti A(2;1)   B(1;4)    C(-2;2)   determina le coordinate di un punto D in modo che
AB=CD

    D(-1;-1)
    D(-3;5)
    D(1;1)
    D(3;-5)

14. Stabilire il valore di verità delle seguenti proposizioni

	V	F
			Se |a|=3  e |b|=5    allora |a+b|8
			Se due vettori hanno lo stesso modulo allora la loro differenza è il vettore nullo
			se a=3i+4j  allora  |a|=5
			Se sono due vettori sono perpendicolari allora il vettore somma è uguale al vettore differenza

15. Dati i punti A(-2;1)  e  B(3;6)  determinare il punto M che divide AB  nel rapporto
AM:MB=3:2
Segui il seguente ragionamento
Sia M(x,y)   il vettore AM ha componenti AM_x= e  AM_y = il vettore MB ha componenti
MB_x =  e MB_y= Poichè AM=3/2 MB  si ottengono le uguaglianze x+2=3/2(3-x) 3-x=3/2(x+2) x-2=3/2(x+3) x+3=3/2(x-2)  e   y+1=3/2(6+y) y-1=3/2(6-y) -y-1=3/2(y-6) 1-y=3/2(6-y)  
che forniscono come risultato  x= 1 -1 2 -2   e   y= 2 -2 -4 4  

16. Risolvi adesso un problema analogo
Assegnati i punti A(1;-3) e B(4;3) il segmento AB è diviso in tre parti uguali . Determina le coordinate dei punti di trisezione

    P(1/3;-1)
Q(4/3; 1)
    P(-1/3;1)
Q(-4/3; -1)
    P(2;-1)
Q(3;1)
    P(-2;1)
Q(-3;-1)

17. Nel piano cartesiano sono assegnati i punti   A(-6;1)     B( 2;7)
Determinare le coordinate del terzo vertice C del triangolo isoscele ABC in modo che C appartenga all'asse y e la base del triangolo sia BC.
Devi seguire il seguente ragionamento:
Se indichiamo con M il punto medio della base BC , possiamo imporre che BC sia perpendicolare ad AM
Poichè C appartiene all'asse y avrà  generiche coordinate (0;y) (x;0)   pertanto il punto medio della base BC avrà coordinate
M= (1;(7+y)/2) ((x+2)/2;7/2)  il vettore BC viene ad avere componenti :  BC_x= -2 x-2   BC_y = -7 y-7  .  Il vettore AM  viene ad avere componenti AM_x= (x+14)/2 7   AM_y= (5+y)/2 5/2  .  I vettori AM  e  BC sono perpendicolari pertanto il prodotto scalare prodotto vettoriale   sarà nullo
cioè    -(x+14)-14 -14+(y-7)(5+y)/2  =0   Risolvendo l'equazione così ottenuta ricavi  y=9 x=9   e  x=-7 y=-7  

18. Risolvi adesso un problema analogo:
A(-3;4) e B(1;6) sono gli estremi della base di un triangolo isoscele il cui terzo vertice C appartiene al semiasse
positivo delle x . Determina le coordinate di C

    C(-3/2;0)
    C(2/3;0)
    C(3/2;0)
    C(-2/3;0)

19. Si conoscono tre vertici consecutivi di un parallelogramma  A(11;4)  B(-1;-1) C(5;7).
Determinare le coordinate del quarto vertice D
Devi seguire il seguente ragionamento :
Poichè ABCD è un parallelogramma,  i  lati opposti sono uguali pertanto  AB =DC
Le componenti dei due vettori sono AB_x= AB_y=     DC_x= DC_y= 
Uguagliando le componenti dei vettori ottieni x=   y= 

20. Risolvi adesso un problema analogo
Determina il quarto vertice del parallelogramma  ABCD sapendo che A(3;-5)   B(5;-3) C(-1;3)

    D(3;1)
    D(-3;-1)
    D(-3;1)
    D(3;-1)

21. Il rombo ABCD ha i vertici opposti  A(3;1)  e C(7;7) ;  Sapendo che il perimetro del rombo è

calcolare coordinate dei rimanenti vertici del rombo.
Devi seguire il seguente ragionamento :
Il punto medio O del segmento AC  ha coordinate  Il vettore AO ha componenti AO_x= AO_y= 
Il vettore OB ad esso perpendicolare avrà componenti OB_x= -3a 7a 5a -5a  OB_y= -3a 3a 2a -2a  
Il vettore AO+OB ha modulo 13a²+13 13a²+13-24a 13a²+13+24a  Poichè  AO+OB =AB  uguagliando i moduli dei vettori ottieni a= 2 3  e a= -2 -3  
Le coordinate dei vertici sono pertanto (-1;8) (1;8)  e  (-11;0) (11:0)  

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