Il valore assoluto di un numero reale a viene indicato con il simbolo |a| ed è definito nel seguente modo:

         a     se a>0
| a | =
         -a    se a<0

1. Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali false

	V	F
			|-5| = 5
			|6|=-6
			|2-3|=-1
			|5-8|=3

Occupiamoci ora della risoluzione di equazioni con valori assoluti.
PRIMO CASO
| A(x) | = B
Se B<0 l'equazione è impossibile
Se B>0 'equazione è risolubile ed ammette come soluzioni A(x)=+B

Facciamo un esempio:
|x²-16|=12
Essendo B=12, cioè positivo, l'equazione è risolubile .
Dobbiamo risolvere allora due equazioni
Prima equazione: x²-16=12 che fornisce le soluzioni x²=28 cioè
Seconda equazione x²-16=-12  che fornisce le soluzioni x²=4 cioè x=+2

2. L'equazione |3x+7|=2 ammette come soluzioni

    è impossibile
    -3 e -5/3
    -3
    -5/3

SECONDO CASO
| A(x) | = B(x)
Per risolvere queste equazioni dovremo sfruttare la definizione che abbiamo dato all'inizio di valore assoluto.

Facciamo un esempio:troviamo le soluzioni dell'equazione  | 2x-5 |=x-2

Basandoci sulla definizione di valore assoluto possiamo scrivere:
         2x-5   se 2x-5>0, cioè se x>5/2
| 2x-5 | =
         -2x+5 se 2x-5<0, cioè se x<5/2

Dovremo quindi risolvere due sistemi e precisamente:

Questi ci forniranno le seguenti soluzioni:

3. L'equazione | 2x-5 |=x ammette come soluzioni

    x=5
    nessuna
    x=5/3
    x=5 e x=5/3

Analizziamo ora come si risolvono le disequazioni con il valore assoluto.
PRIMO CASO
| A(x) | < B
Se B<0 è impossibile
Se B>0   -B<A(x)<B  che è equivalente alla risoluzione del sistema

Facciamo un esempio: risolviamo la disequazione | x²-x |<2
Il sistema da risolvere è il seguente:

La prima disequazione è risolta per -1<x<2
La seconda disequazione è risolta per ogni x appartenente ad R
Lo schema finale pertanto è:

che fornisce la soluzione  -1<x<2

4. Qual è il sistema di disequazioni che devi scrivere per risolvere la disequazione
| x+5 |<6

   
   
   
   

5. Risolvi la seguente disequazione:
| x²-5x |<6
Per rispondere alla domanda segui il seguente ragionamento:
"Per risolvere la disequazione dobbiamo risolvere un sistema di disequazioni,la prima disequazione del sistema è x²-5x<6 x²-5x>6 x²-5x<=6 x²-5x>=6  , la seconda disequazione del sistema è x²-5x>6 x²-5x>-6 x²-5x<=-6 x²-5x>=-6  , la prima disequazione ammette come insieme risolutivo -1<=x<=6 x<=-1 v x>=6 -1 x<-1 v x>6  , la seconda disequazione ammette come insieme risolutivo x<2 v x>3 2 x<=2 v x>=3 2<=x<=3  ,l' unione intersezione   delle soluzioni ci fornisce la soluzione della disequazione che è -1 x<-1 v 26 -1<=x<=2 v 3<=x<=6 x<=-1 v 2<=x<=3 v x>=6  "

SECONDO CASO:
| A(x) |>B
Se B<0 la disequazione è risolta per ogni valore di x
Se B>0 la  disequazione si risolve facendo l'unione delle soluzioni delle due disequazioni:A(x)>B    U    A(x)<-B

Facciamo un esempio:
Risolviamo la disequazione |x²-4x|>3
Le disequazioni da risolvere sono due e precisamente:
x²-4x>3   v    x²-4x<-3
La  prima disequazione  x²-4x-3>0 fornisce la soluzione S1:
La seconda disequazione x²-4x+3<0 fornisce la soluzione   S2:  1<x<3
La soluzione finale sarà S=S1 U S2

6. Quali disequazioni permettono di risolvere la disequazione | x-3|>5 ?

    x-3<5  v x-3 >-5
    -5<x-3<5
    x-3>5 v x-3>-5
    x-3>5 v x-3<-5

7. Risolvi la seguente disequazione:
|x²-x | >2
Per svolgere correttamente l'esercizio segui il seguente ragionamento:
"La disequazione si può risolvere facendo l' intersezione unione  delle soluzioni della disequazione x²-x>-2 x²-x>2 x²-x>=-2 x²-x<=2  e di x²-x<-2 x²-x<2 x²-x<=-2 x²-x>=2  ,la prima ammette come insieme risolutivo x<-1 v x>2 -1 x<-1 v x>=2 impossibile  , la seconda -1 x<-1 v x>2 x<=-1 v x>2 impossibile  , la soluzione finale è pertanto per ogni x impossibile x<-1 v x>2 -1  "

Quando le disequazioni con il valore assoluto non sono dei tipi analizzati precedentemente, occorre, nel risolverle, tenere presente la definizione che abbiamo dato di valore assoluto.
Facciamo un esempio:

| x+1 | < 3x+4

Applichiamo la definizione di valore assoluto:
         x+1  se x+1>0  cioè se x>-1
| x+1 |
         -x-1 se x+1<0  cioè se x<-1

La disequazione analizzata sarà pertanto equivalente ai due sistemi di disequazioni:

Risolviamo il primo sistema
S1: x>-1
S2: x>-3/2
da cui lo schema :

Da cui otteniamo che il primo sistema è risolto per x>-1
Risolviamo il secondo sistema:
S1: x<-1
S2: x>-5/4
da cui lo schema:

Da cui otteniamo che il secondo sistema è risolto per -5/4<x<-1
L'unione delle due soluzioni è rappresentata dallo schema:

La soluzione finale è pertanto x>-5/4

         

8. Scrivi i sistemi di disequazioni che ti permettono di risolvere la disequazione:
|5-2x|>x+4

   
   
   
   

Trattiamo ora il caso di disequazioni nelle quali compaiano più termini con il valore assoluto.
Il procedimento è analogo all'ultimo caso analizzato, dovremo cioè far riferimento alla definizione di valore assoluto.
Cerchiamo di capire il procedimento che dovremo seguire per risolvere la disequazione a partire da un esempio.

Risolviamo la disequazione  | x-1 | + | 2-x | < x+3
         x-1 se x>1
| x-1 | =                         
         -x+1 se x<1

         2-x   se  2-x>0 cioè se x<2
| 2-x | =
         -2+x se 2-x<0 cioè se x>2

Il modo più semplice per risolvere la disequazione si basa sulla costruzione di uno schema in cui vengono riportati i valori assunti dai singoli valori assoluti:


I casi da considerare sono quindi tre ed i sistemi da risolvere sono pertanto:

Risolviamo il primo sistema:
S1:x<1
S2: svolgendo i calcoli otteniamo -3x<0  cioè S2:x>0
Da cui S(1°): 0<x<1
Risolviamo il secondo sistema:
S1:1<x<2
S2: svolgendo i calcoli otteniamo -x<2  cioè x>-2
Da cui S(2°): 1<x<2
Risolviamo il terzo sistema:
S1: x>2
S2: svolgendo i calcoli otteniamo: x<6
Da cui S(3°): 2<x<6
La soluzione finale sarà l'unione di tutte le soluzioni cioè:

9. Quali sono i sistemi di disequazioni che devi risolvere per trovare le soluzioni della disequazione:
|x-3|+|x-2|>5-3x  ?

   
   
   
   

10. Assegnato il punto P(|1-k|-2;k+5),determina per quale valore di k il punto P appartiene al terzo quadrante.
Per risolvere l'esercizio segui il seguente ragionamento:
"Se il punto P deve appartenere al terzo quadrante la sua ascissa e la sua ordinata devono essere negative positive    .Si imposta quindi un sistema di disequazioni di cui la prima è |1-k|-2>0 |1-k|-2<0 |1-k|-2 >=0 |1-k|-2 <=0   e la seconda è k+5>0 k+5>=0 k+5<0 k+5<=0  . La soluzione della prima disequazione è -k<-1 v k>3 k<=-1 v k>=3 -1 -1<=k<=3  , mentre la soluzione della seconda è k<-5 k>-5 k<=-5 k>=-5  . Il sistema è quindi risolto per k<-1 k<-5 -5 impossibile  "

Ora ti verranno proposti una serie di esercizi che dovrai risolvere senza nessun aiuto o suggerimento.
La risposta che dovrai fornire potrà essere di questo tipo:

• Se la soluzione trovata sarà del tipo x<1 scriverai x<=1
• Se la soluzione trovata sarà del tipo x>2 scriverai x>=2
• Se la soluzione trovata sarà del tipo  1<x<3 scriverai 1<=x<=3
• Se la soluzione trovata sarà del tipo x<3 v x>5 scriverai  x<3,x>=5
• Se la soluzione trovata sarà del tipo  x< scriverai x<rad(2)
• Se la soluzione trovata sarà del tipo   scriverai x>(1+rad(3))/2
• Se non vi sono soluzioni scriverai impossibile
• Se la disequazione è risolta per ogni valore di x appartenente ad R scriverai sempre
• Ricorda di non lasciare spazi

11. Risolvi la seguente disequazione:
|x²-3x|>2

   

12. Risolvi la seguente disequazione:
|x-x²|<1

   

13. Risolvi la seguente disequazione:


   

14. Risolvi la seguente disequazione:
|x+2| + |x-1| >3

   

15. Risolvi la seguente equazione:


   

16. Risolvi la seguente equazione:


   

17. Risolvi il seguente sistema di disequazioni:


   

18. Risolvi la seguente disequazione fratta:


   

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