Si definisce trasformazione geometrica del piano una funzione biunivoca t tra i punti del piano che trasforma un generico punto P del piano in un punto P' del piano .
P' è detta immagine di P
P è detta controimmagine di P'
Essendo t una funzione biiettiva esiste sempre la sua trasformazione inversa che viene indicata con t^-1
Le varie trasformazioni sono caratterizzate dalle caratteristiche  che esse trasmettono inalterate dal dominio al codominio.
Queste caratteristiche si chiamano invarianti della trasformazione e sono continuità , convessità ,parallelismo,misura,forma
La classificazione delle trasformazioni avviene proprio sulle sue invarianti:
CONTINUITA'     Trasformazioni topologiche
CONTINUITA' e CONVESSITA'     Trasformazioni proiettive
CONTINUITA' e CONVESSITA' e PARALLELISMO     trasformazioni affini
CONTINUITA' e CONVESSITA' e PARALLELISMO e FORMA   trasformazioni  simili
CONTINUITA' e CONVESSITA' e PARALLELISMO e FORMA e MISURA  trasformazioni isometriche

1. Individua  dall'analisi  della figura F e F'  la trasformazione affine
(A)
(B) 
(C) 
(D)   

    (A)
    (B)
    (C)
    (D)

Passiamo ad analizzare le isometrie cioè le trasformazioni del piano che conservano le distanze.
Le isometrie si suddividono in SIMMETRIE ASSIALI , SIMMETRIE CENTRALI , TRASLAZIONI , ROTAZIONI e RIFLESSO-TRASLAZIONI

Ogni  trasformazione definita in un piano cartesiano sarà caratterizzata da un'espressione analitica che ne rappresenta l'equazione

Si può cominciare dalla prima isometria: TRASLAZIONE
Si definisce traslazione la funzione biunivoca del piano in sè che associa ad ogni punto del piano un punto P' del piano t.c

La traslazione
a) non ha punti uniti
b) non ha rette fisse
c) ha infinite rette unite: tutte le rette parallele al vettore v
d) è un'isometria diretta

L'equazione di una traslazione è


ESEMPIO:
Scrivi l'equazione della traslazione di vettore

2. Quale tra le seguenti equazioni rappresenta la traslazione di vettore


   
   
   
   

Un'altra isometria è la simmetria centrale
Si definisce simmetria centrale rispetto ad un punto A la funzione biunivoca che associa ad ogni punto P del piano un punto P' del piano in modo che il punto C sia il punto medio del segmento PP'

La simmetria  centrale :
a) ammette un punto unito : il centro di simmetria A
b) non ammette rette fisse
c) ammette infinite rette unite : tutte quelle di centro A
d) è un'isometria diretta

Se il centro di simmetria è il punto A( a, b ) La sua equazione nel piano cartesiano diventa


ESEMPIO:
Scrivere l'equazione della simmetria centrale rispetto al punto P(-3;2)

3. Determina il centro di simmetria della trasformazione di equazione



    A(3,6)
    A(-3,-6)
    A(-3/2;-3)
    A(3/2;3)

Un'ulteriore isometria è la ROTAZIONE
Si definisce rotazione di centro A ed angolo a la funzione biiettiva che associa ad ogni punto P del piano  il punto P' t.c
 
La rotazione
a) ammette un unico punto unito : il centro A della rotazione
b) non ammette rette fisse
c) non ammette rette unite
d) è un'isometria diretta

La sua equazione nel piano cartesiano si determina cercando l'immagine dei versori i j

4. Qual è l'angolo della rotazione di equazione


    30°
    60°
    150°
    120°

ATTENZIONE: i termini a e b dell'equazione della rotazione non sono le coordinate del centro di rotazione.
Il centro viene determinato sapendo che esso è il punto unito della trasformazione
ESEMPIO: 
Determinare il centro della rotazione di equazione

Poichè il centro è il punto unito x'=x  y'=y  risolvendo il sistema associato all'equazione si trova il centro

 

5. Determina il centro della rotazione di equazione


    A(10,-2)
    A(-10;2)
    A(-4;6)
    A(4;-6)

Un'ulteriore isometria è la simmetria assiale
 La simmetria assiale di asse  r   è una funzione biiettiva che associa ad ogni punto P del piano un punto P' del piano tale che la retta r risulti l'asse del segmento PP'.

Caratteristiche della simmetria assiale:
a) Ammette infiniti punti uniti: Tutti i punti appartenenti ad r
b) Ammette una retta fissa : la retta r
c) Amette infinite rette unite: le perpendicolari alla retta r
d) E' un'isometria inversa


L'equazione della simmetria assiale  risulta

Dove a  è l'angolo formato dalla retta con la direzione positiva dell'asse x ed a,b sono due parametri che si determinano imponendo che un qualunque punto della retta risulti unito

ESEMPIO:
Trovare l'equazione della simmetria rispetto alla retta y=x
a=45°   quindi la matrice diventa

6. Determina l'equazione della simmetria rispetto alla retta y=-x

   
   
   
   

7. Ogni trasformazione che ti viene fornita rappresenta l'equazione di una simmetria assiale.
Associa ad ogni trasformazione il relativo asse di simmetria

(B)
(C)
(D)
(E)

    y=0 x=0 y=-x y=a x=a (A)
    y=0 x=0 y=-x y=a x=a (B)
    y=0 x=0 y=-x y=a x=a (C)
    y=0 x=0 y=-x y=a x=a (D)
    y=0 x=0 y=-x y=a x=a (E)

Analizziamo adesso il procedimento per determinare l'equazione della simmetria assiale rispetto ad una generica retta.
1° passo  :   Il coefficiente angolare della retta rappresenta tga   ,  sfruttando le formule parametriche si determina
            sen2a   e    cos 2a  e così si individua la matrice della trasformazione

2° passo :    Si prende un generico punto P(x_o, y_o) appartenente ad r e si impone che P risulti un punto unito , questo
           porterà alla determinazione dei parametri  a e b
            
ESEMPIO:  Determinare l'equazione della simmetria assiale rispetto alla retta   r: 3x-4y+8=0

1° passo:

Sostituendo tali valori nell'equazione della simmetria assiale ottieni

2°passo
Si considera un generico punto P appartenente ad r   ad es. P(0;2) e si sostituisce nell'equazione appena trovata ottenendo

L'equazione della simmetria assiale rispetto alla retta 3x-4y+8=0 risulta

8. Prova quindi adesso a determinare l'equazione della simmetria assiale rispetto alla retta r  di equazione 2x-y-2=0
Il coefficiente angolare della retta r rappresenta tga= 2 -2 1/2 -1/2  Applicando le formule parametriche ottieni
sen2a= 3/5 -3/5 4/5 -4/5  cos2a= 3/5 -3/5 4/5 -4/5  Pertanto la matrice che caratterizza la trasformazione ha come elementi
a₁₁= 3/5 -3/5 4/5 -4/5  a₁₂₌ 3/5 -3/5 4/5 -4/5  a₂₁= 3/5 -3/5 4/5 -4/5  a₂₂= 3/5 -3/5 4/5 -4/5  . Si considera adesso il punto P appartenente ad r di
ccordinate P(0;-2). Sostituendo tale punto nell'equazione ottieni  a= 8/5 -8/5 4/5 -4/5  b= 8/5 -8/5 4/5 -4/5  

Componendo tra loro due isometrie si ottiene ancora una isometria in particolare
1) Componendo due simmetrie centrali di centri A e B si ottiene una traslazione  di vettore 2AB
2) Componendo due simmetrie assiali in due rette a e b perpendicolari si ottiene una simmetria centrale di centro il punto di intersezione di a e b
3) Componendo due simmetrie assiali in due rette a e b parallele si ottiene una traslazione il cui vettore caratterizante è perpendicolare ad a e b , ha modulo doppio della distanza tra a e b
4) Componendo due simmetrie assiali in due rette a e b incidenti si ottiene una rotazione che ha il centro nel punto di intersezione delle rette ed angolo doppio dell'angolo formato dalle rette
5) Componenedo una simmetria assiale con una traslazione di vettore parallelo all'asse si simmetria si ottiene una glissosimmetria

In particolare si può affermare che l'insieme delle isometrie  rispetto all'operazione di composizione rappresenta un gruppo
    

9. Associa alla composizione di due isometrie l'isometria corrispondente
(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

    traslazione rotazione glissosimmetria Simmetria centrale (A)
    traslazione rotazione glissosimmetria Simmetria centrale (B)
    traslazione rotazione glissosimmetria Simmetria centrale (C)
    traslazione rotazione glissosimmetria Simmetria centrale (D)
    traslazione rotazione glissosimmetria Simmetria centrale (E)

Passiamo adesso ad analizzare le trasformazioni non isometriche.
La prima che definiremo e di cui determineremo le proprietà e l'equazione caratteristica è l'omotetia
Fissato un punto O sul piano , un altro punto P del piano ed un numero k‡0 si definisce omotetia la trasformazione biunivoca  che trasforma il punto P nel punto P' tale che
         
con la convenzione che se k>0 i punti P e P' si trovano dalla stessa parte rispetto ad O, mentre se k<0 i punti P e P' si trovano da parti opposte rispetto ad O

CARATTERISTICHE   DELL'OMOTETIA
1)   Ammette un punto unito  :  il centro dell'omotetia
2)   Ammette infinite rette unite :  tutte le rette che passano per il centro di omotetia
3)   Non ammette rette fisse

Il rapporto di segmenti che si corrispondono in un'omotetia è k , così  come il rapporto dei perimetri delle figure che si corrispondono in una omotetia , il rapporto tra le aree di figure che si corrispondono in un'omotetia è k²
Inoltre possiamo affermare che se |k|>1 si ha un ingrandimento della figura , se | k |<1 si ha una riduzione della figura
k=-1  si ha una simmetria centrale che ha come centro il centro dell'omotetia
k=1   si ha un'identità 
 L'inversa di un'omotetia è ancora un'omotetia con lo stesso centro ma rapporto inverso

10. Determina in quale dei seguenti casi è stata effettuata una omotetia con k<0
(A)
(B)
(C)
(D)

    (A)
    (B)
    (C)
    (D)

Determiniamo l'equazione dell'omotetia.
Come nelle altre trasformazioni si deve determinare l'immagine dei versori i j
Applichiamo un'omotetia di centro l'origine e rapporto k :    w_O,k
I versori i' e j' vengono ad avere componenti

Se l'omotetia invece di avere centro nell'origine ha centro in un punto A la sua equazione diventa :

i valori di a e b si determinano imponendo che il punto A sia unito

11. Individua quale tra le seguenti equazioni rappresenta un'omotetia w_o,-3

   
   
   
   

ESEMPIO 1 : SCRIVERE  L'EQUAZIONE DELL'OMOTETIA   w _A,-2    con  A(3,-1)
SOLUZIONE :
L'equazione di un'omotetia di rapporto k=-2 è

Poichè A( 3;-1) è il punto unito si ottiene

L'equazione richiesta diventa:

ESEMPIO 2:  DETERMINARE  CENTRO e RAPPORTO DELL'OMOTETIA  DI  EQUAZIONE

SOLUZIONE :
k=3
Per determinare il centro si sfrutta il fatto che esso è il punto unito

Il centro è il punto A(-3,1)

12. Qual è il centro dell'omotetia di equazione


    A(-12;18)
    A(-2;3)
    A(2;-3)
    A(12;-18)

13. Qual è l'equazione dell'omotetia


   
   
   
   

Analizziamo adesso una similitudine

La similitudine è la composizione tra un'omotetia ed una isometria

Componendo due similitudini di rapporto   a   e  b  si ottiene una similitudine di rapporto ab
L'inversa di una similitudine è ancora una similitudine
L'insieme delle s imilitudini rispetto al rapporto di composizione costituisce un gruppo

ESEMPIO 1:  SCRIVERE L'EQUAZIONE DELLA SIMILITUDINE OTTENUTA APPLICANDO S_y=x°w_O,-2
SOLUZIONE:

Effettuando la moltiplicazione tra le matrici si ottiene l'equazione della similitudine che è :

14. Qual è l'equazione della similitudine ottenuta componendo  S_y=-x°w_O,3

   
   
   
   

Analizziamo adesso la dilatazione :
Si definisce dilatazione  di rapporti h e k la trasformazione del piano che associa ad ogni vettore OP di componenti

h , k sono definiti rapporti di stiramento
ESEMPIO:
Determinare le coordinate del punto A' immagine di A(1;2) nella dilazione di rapporti h=-2   k=1

15. Determina l'equazione della trasformata  della curva di equazione y=x²-x  nella dilatazione di rapporti h=3   k=2
Segui il seguente ragionamento
Poichè i rapporti di stiramento sono 3 e 2 possiamo affermare che x'= 3x -3x 2x -2x    e  y'= 3y -3y 2y -2y   da cui si ricava
x= 1/3 x' -1/3 x' 1/2 x' -1/2 x'    y= 1/3 y' -1/3 y' 1/2 y' -1/2 y'  L'equazione della curva trasformata diventa quindi
1/3 y' -1/3 y' 1/2 y' -1/2 y'  =( 1/3 x' -1/3 x' 1/2 x' -1/2 x'  )²- 1/3 x' -1/3 x' 1/2 x' -1/2 x'  
Svolgendo i calcoli si ottiene l'equazione della curva trasformata
y= 2/9 9/2 -2/9 -9/2  x²- 3/2 -3/2 2/3 -2/3  x

Passiamo infine ad analizzare l'affinità

L'affinità è una funzione biunivoca del piano che ha come invarianti l'allineamento dei punti ed il parallelismo cioè trasforma rette in rette ,  rette parallele in rette parallele , punti allineati in punti allineati

L'equazione che la caratterizza è la seguente:



Una importante  proprietà dell'affinità è che se due figure si corrispondono in un'affinità il rapporto delle loro aree è uguale al determinante della matrice caratteristica

16. Quale tra le seguenti equazioni non rappresenta un'affinità?

   
   
   
   

Effettuiamo adesso la classificazione delle affinità:
Un ' affinità  di equazione

con det(A)‡0
si definisce
diretta  se      det(A)>0
contraria se    det(A)<0
In particolare si tratta di una
SIMILITUDINE  se

in particolare se  det(A)=k² , il rapporto di similitudine è k

ISOMETRIA   se

17. Stabilire quali affermazioni sono vere e quali false relativamente all'affinità  di equazione

	V	F
			E' una affinità contraria
			E' una similitudine
			det(A)=-1
			E' un'isometria

18. Stabilire quali affermazioni sono vere o quali false relativamente all'equazione

	V	F
			Si tratta di una simmetria assiale
			Si tratta di una rotazione
			Si tratta di una similitudine
			Non rappresenta un'affinità

Abbiamo terminato il ripasso delle trasformazioni , risolviamo adesso alcuni tipici esercizi su questo argomento
Determinare l'equazione di un'affinità conoscendo i punti trasformati:

ESEMPIO:Determinare l'equazione dell'affinità che trasforma i punti A(0;1)  B(1;2)  C(-1;1) nei punti A'(2;0)  B'(3;3)  C'(0;-1)

Soluzione: Si sostituiscono le coordinate dei punti nell'equazione generica dell'affinità. Si ottiene il sistema

E' consigliabile scrivere il sistema come l'unione di due sistemi , uno nell'incognite a,b,c e l'altro nelle incognite d,e,f cioè

Risolti si ottengono i seguenti dati
a=2   b=-1  c=3  d=1    e=2   f=-2  
Quindi la trasformazione ha equazione

19. Determinare l'equazione dell'affinità che fa corrispondere ai punti A(1,2) B(-2;1) O(0;0) i punti
A'(3;6)  B'(-5;0) O'(2;-1)

Devi seguire il seguente ragionemento :
1)Sostituendo l'ascissa del punto A e del punto A' ottieni  
2)Sostituendo l'ordinata del punto A e del punto A' ottieni  
3)Sostituendo l'ascissa del punto B e del punto B' ottieni  
4)Sostituendo l'ordinata del punto B e del punto B' ottieni 
5)Sostituendo l'ascissa del punto O e del punto O' ottieni 
6)Sostituendo l'ordinata del punto O e del punto O' ottieni 
Risolvendo il sistema composto dalle equazione 1-3-5  ottieni  a= b= c= 
Risolvendo il sistema composto dalle equazioni 2-4-6  ottieni d= e= f= 
Pertanto l'affinità ha equazione x'= 
                                y'= 

Un altro tipico esercizio consiste nel classificare un'affinità

ESEMPIO: Classificare l'affinità di equazione


Svolgimento:


Dalla teoria possiamo affermare che si tratta di una similitudine diretta

20. Classificare l'affinità di equazione

Seguiamo il seguente ragionamento:
det(A)=        a²+d²=     b²+e²=  
Poichè il det(A) è positivo negativo      e  a²+d²=b²+e²=| det(A) | ‡1     la traformazione è una isometria similitudine   diretta contraria  

Un altro problema consiste nella determinazione dell'equazione di una curva sottoposta ad un'affinità

ESEMPIO : Assegnata la curva C di equazione x²+y²=1  determinare l'equazione della curva C'=t(C) con

Soluzione :
Si deve determinare l'equazione della trasformazione inversa e sostituire i valori così trovati nella curva
Per trovare la trasformazione inversa dobbiamo ricavare x, y in funzione di x' ,y' , se i calcoli non sono immediati(come ad es. accade nelle isometrie ) si applica la matrice inversa cioè:

La trasformazione inversa diventa :

Sostituendo i valori di x e y così trovati nella curva C si ottiene :

Si svolgono i calcoli e si ottiene l'equazione della curva C':x²+y²-6x+4y+8=0

21. Assegnata la retta r di equazione x-y+2=0  determinare l'equazione della retta r'=f(r) 


Segui il seguente ragionamento:
DET(A)= La matrice inversa ha  elementi a₁₁= 3/10 -3/10 1/10 -1/10  a₁₂= 3/10 -3/10 1/10 -1/10  a₂₁= 3/10 -3/10 1/10 -1/10  a₂₂= 3/10 -3/10 1/10 -1/10  
Il vettore termini noti ha elementi  b₁= 1/2 -1/2  b₂= 1/2 -1/2  
La trasformazione inversa ha così equazione x=( )/10    Y=( )/10
applicando tale trasformazione alla retta r  e riducendo ai minimi termini ottieni l'equazione della retta r' 2x+y+5=0 2x-y+5=0 2x-y-5=0 -2x-y+5=0  

Sappiamo che in una trasformazione geometrica  si dicono uniti gli elementi che hanno per trasformati loro stessi.
E' importante quindi in una affinità determinare i suoi elementi uniti: punti e rette.
Vediamo come si determina il punto unito:

ESEMPIO:Trovare il punto unito dell'affinità di equazione

Se P(x,y) è il punto unito  P'=P(x,y)
Si deve quindi risolvere il sistema

Il punto P(-1/2;5/2) è il punto unito dell'affinità

22. Determina il punto unito dell'affinità di equazione


    (-2;-3)
    (-3;-2)
    (2;3)
    (3;2)

Analizziamo adesso il metodo necessario a determinare le rette unite

Per trovare le eventuali rette unite
1) Si considera una generica retta r di equazione y=mx+q e troviamo la sua trasformata r' nell'affinità.
2) Le rette r e r' sono unite e rappresentano pertanto la stessa retta e questo accade se i loro coefficienti angolari e i loro termini noti sono uguali. Risolvendo le uguaglianze m=m'   q=q'  si trovano , se esistono , i valori di m e q

ESEMPIO:Determinare le rette unite dell'affinità di equazione :

SOLUZIONE:
r: y=mx+q
Per trovare r' devo trovare la trasformazione inversa

Quindi la trasformazione inversa ha equazione

Si passa quindi a determinare r' :
(x'+2y'+3)=m(x'+y'+1)+q
x'+2y'+3=mx'+my'+m+q
y'(2-m)=x'(m-1)+m+q-3
scrivendo r' in forma esplicita :

Si uguagliano i coefficienti angolari ed i termini noti delle rette  r  e r' e s i ottiene

Risolvendo la seconda si ottiene:
m+q-3=2q-mq
q(m-1)=3-m  cioè 

Pertanto le rette unite hanno equazione :

23. Stabilisci se la seguente affinità ha rette unite

Applichiamo il seguente ragionamento:
Det(A)= La matrice inversa ha elementi  a₁₁= 1 -1 0 1/2 -1/2  a₁₂= 1 -1 0 1/2 -1/2  a₂₁= 1 -1 0 1/2 -1/2  a₂₂= 1 -1 0 1/2 -1/2  
La trasformazione inversa ha equazione x= y= 
Sostituendo i valori così trovati nella generica retta di equazione y=mx+q ottieni la retta r' di equazione
y'=( 2m/(m+1) -2m/(m+1) m/(2m+2) -m/(2m+2)  )x'+ q/(2m+2) -q/(2m+2) 2q/(m+1) -2q/(m+1)  
Uguagliando i coefficienti angolari determini m=   m= 
Sostituendo tali valori nell'uguaglianza dei termini noti ottieni: q=   q= indeterminato impossibile 0  
Pertanto le rette unite hanno equazione y=0 x=0 y=x    e  y=x y=x+q y=q  

Un altro tipico problema è determinare , qualora l'equazione contenga un parametro , per quali valori essa rappresenta un'affinità  , una similitudine o un'isometria

ESEMPIO: Assegnata la trasformazione t  di equazione

determinare per quali valori di k essa rappresenta 
a) un 'affinità
b)una similitudine o un'isometria

SOLUZIONE:

Un'affinità ha il determinante diverso da zero pertanto risolvendo l'equazione di secondo grado si ottiene

b)Per rispondere alla seconda domanda dobbiamo uguagliare a²+d²=b²+e²

Sostituiamo tali valori nel det(A) ed in una delle relazioni a²+d^{2 o} b²+e^{2
per k=-2 si ottiene  det(A)=1}      a²+d²=1   pertanto è un'isometria diretta
per k=-4/3 si ottiene det(A)= -5/9    a²+d²=5/9   pertanto è una similitudine contraria

24. Assegnata la trasformazione di  equazione  

determina per quali valori di k essa rappresenta un'affinità , una similitudine , un'isometria
Effettuiamo il seguente ragionamento
Det(A)= (7k-k²+10)/2 (7k-k²-10)/2 (7k+k²+10)/2 (-7k-k²+10)/2   per determinare per quali valori rappresenta un'affinità lo si pone uguale a zero diverso da zero  e questo ci fornisce i risultati
k=5 k diverso da 5    e  k=2 kdiverso da 2  
Per trovare per quali valori di k rappresenta una similitudine o un'isometria si pone a²+d²=b²+e² a²+d² diverso da b²+e²!  
cioè (2-k)²=((k-5)/2)² (2-k)²diverso da((k-5)/2)²   e questo ci fornisce i risultati (scrivi prima il valore minore) k= e k= 
Sostituendo il primo valore di k si trova det(A)= e a²+d²=  si tratta di una similitudine diretta similitudine contraria isometria diretta isometria inversa  
Sostituendo il secondo valore di k si ottiene det(A)= e a²+d²= si tratta di una similitudine diretta similitudine contraria isometria diretta isometria inversa  

Ti verranno adesso forniti alcuni esercizi sulle trasformazioni che possono richiedere calcoli più elaborati.
Devi munirti di foglio e penna e risolverli .

25. Caratterizza l'isometria


   
    Una traslazione di vettore

   
   

26. Scrivi l'equazione dell'omotetia di rapporto k=-5  e centro (-2;3)

   
   
   
   

27. Individua l'equazione dell'affinità che ha come punto fisso l'origine e che trasforma i punti  A(2;1) e B(3;-2) nei punti A'(3;-1) e B'(8;-5)

   
   
   
   

28. Individua il centro e l'ampiezza della rotazione di equazione


   
    C(1/2;1/2)   a=45°
    C( 0;0)   a=-45°
    C(1,1)        a=135°

29. Scrivi l'equazione della simmetria assiale rispetto alla retta di  equazione


   
   
   
   

30. Sia C la curva di equazione  x²+y²+2x-2y=0   determinare C'=T (C)  dove T è la trasformazione di equazione


    x²+y²+4x-4y+3=0
    x²+2y²+4x-4y+3=0
    2x²+2y²-x-2y+3=0
    2x²+2y²+4x-4y+3=0

31. Individua il punto unito della trasformazione


    A(-1;5)
    A(2;-5)
    A(-2;5)
    A(1;-5)

32. Determina le rette unite della trasformazione di equazione


    y=-x  y=2/3x
    y=x 
    2x-3y=0    e    y=-x+q
    Non ammette rette unite

33. Determinare per quali valori di a la trasformazione T rappresenta un'affinità


    a‡-2
    a‡2
    a‡-1/2
    a‡1/2

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