La statistica si occupa dello studio di fenomeni collettivi dove per fenomeno collettivo si intende un fenomeno costituito da un insieme di fenomeni singoli tutti dello stesso tipo.
Ogni singolo fenomeno di cui si compone un fenomeno collettivo prende il nome di unità statistica

1. Individua tra i seguenti fenomeni quali sono fenomeni singoli e quali collettivi.

    fenomeno singolo fenomeno collettivo La nascita di una persona
    fenomeno singolo fenomeno collettivo La formazione del patrimonio della popolazione italiana
    fenomeno singolo fenomeno collettivo Un incidente capitato al sig.Rossi
    fenomeno singolo fenomeno collettivo La mortalità della popolazione italiana

Ogni unità statistica presenta delle caratteristiche che si chiamano caratteri.
Quando in statistica si parla di popolazione ci si riferisce a un insieme di elementi ( unità statistiche ) che presentano delle caretteristiche comuni.
I caratteri possono essere:
- Qualitativi : espressi da attributi, espressioni verbali etc..ad es. colore degli occhi, stato civile....
- Quantitativi : espressi da numeri risultanti da misurazioni . ad es: reddito di una popolazione,numero dei vani di un appartamento....
Un carattere quantitativo può essere a sua volta:
- discreto: quando assume valori appartenenti a un insieme finito. Ad es: numero delle stanze di un appartamento
- continuo: quando può assumere tutti i valori reali appartenenti ad un intervallo. Ad es:la temperatura

2. Individua quali di questi caratteri sono qualitativi  e quali quantitativi

    qualitativi quantitativi Colore degli occhi
    qualitativi quantitativi titolo di studio
    qualitativi quantitativi numero dei figli
    qualitativi quantitativi il peso dei giocatori di una squadra di rugby

Si definisce dato statistico quante unità statistiche presentano una certa modalità di un certo carattere.
Questo dato può avere due significati:
- se esprime quante volte si è manifestata questa modalità si parlerà di frequenza
- se esprime una misura si parlerà di intensità.

Si definisce frequenza relativa il rapporto fra la frequenza assoluta ed il numero totale dei casi
Si definiscono frequenze relative cumulate  le frequenze che associano ad ogni valore della variabile discreta ( o ad ogni classe della variabile continua ) la somma della rispettiva frequenza relativa con le frequenze dei valori precedenti.
Analizziamo ora una tabella e calcoliamo le frequenze relative e  quelle cumulate.

N° stanze	N° abitazioni
1	2887
2	19878
3-4	69767
5 e oltre	36917
Totale	129449

La frequenza relativa sarà data da f₁=2887/129449=0.00223   f₂=19878/129449=0.1536 e così via, otteniamo pertanto la tabella:

N° stanze	N° abitazioni	Frequenze relative	Frequenze relative cumulate
1	2887	0.0223	0.0223
2	19878	0.1536	0.1759
3-4	69767	0.5390	0.7148
5 e oltre	36917	0.2852	1
Totale	129449	1

Numero stanze	numero abitazioni	Frequenze relative	Frequenze relative cumulate
1	2887	0.0223	0.0223
2	19878	0.1536	0.1759
3-4	69767	0.5390	0.7148
5 e oltre	36917	0.2852	1
totale	129449	1

3. Assegnata la seguente tabella calcola le frequenze relative ( scrivi i risultati con tre cifre decimali )

Grado della scuola	Numero alunni iscritti
Materna	1.577.696
Elementare	2.859.379
Media	1.775.009
Superiore	2.543.750
totale	8.755.834

f₁= 
f₂= 
f₃= 
f₄= 

Le tabelle analizzate fino ad ora prendono un nome particoalre:
- Se il carattere che le distingue è quantitativo si parlerà di variabile statistica
- Se il carattere che le distingue è qualitativo si parlerà di mutabile statistica

Quando eseguiamo un indagine statistica i dati possono essere rappresentati con tabelle a entrata semplice o con tabelle a doppia entrata quando si classificano le unità statistiche rispetto a due o più caratteri.
I dati che sono stati raccolti in tabelle si possono rappresentare graficamente , questo anche perchè una rappresentazione grafica è molto più espressiva di una tabella di valori.
Analizziamo il primo tipo di rappresentazione grafica:
RAPPRESENTAZIONE IN COORDINATE CARTESIANE

Voto	Numero studenti
6	10
7	5
8	2
9	1
totale	18

Per fare la rappresentazione grafica si riportano sull'asse delle ascisse i voti e su quello delle ordinate  il numero degli studenti.I punti trovati verranno uniti da una linea spezzata.

4. Stabilisci qual è la rappresentazione grafica della seguente tabella relativa al numero dei passeggeri transitati nel porto di Olbia

Anni	numero passeggeri
1992	3000
1993	4000
1994	3500
1995	4000
1996	3000

( sull'asse delle ascisse l'unità vale 500 )

   
   
   
   

Quando dobbiamo rappresentare una seriazione continua con i dati raggruppati in classi si utilizzano gli istogrammi.
Sull'asse delle ascisse si riportano tanti intervalli consecutivi quante sono le classi, mentre sull'asse delle y si costruiscono dei rettangoli le cui aree sono proporzionali alle frequenze.
Analizziamo il caso in cui le classi abbiano la stessa ampiezza:
In questo caso sull'asse delle ordinate basterà riportare la frequenza.
Riportiamo un esempio:

Classi di età	Frequenze
15-20	120
20-25	207
25-30	358
30-35	189
35-40	80
40-45	30
45-50	16
Totale	1000

La rappresentazione grafica è la seguente:

  

5. Qual è l'istogramma relativo alla seguente tabella?

Salario	Numero operai
600-700	30
700-800	60
800-900	115
900-1000	30
1000-1100	15

   
   
   
   

6. Qual è la tabella che ha come rappresentazione grafica il seguente istogramma?


   

N°addetti	Imprese
100-200	20
200-300	20
300-400	30
400-500	30
500-600	40

   

N°addetti	Imprese
100-200	40
200-300	30
300-400	30
400-500	20
500-600	20

   

N°addetti	Imprese
100-200	20
200-300	30
300-400	40
400-500	30
500-600	20

   

N°addetti	Imprese
100-200	40
200-300	20
300-400	30
400-500	20
500-600	30

Guardiamo come dobbiamo comportarci nel caso in cui le classi non abbiano tutte la stessa ampiezza:
Dovremo dividere le frequenze per le ampiezze delle varie classi e trovare così le altezze dei rettangoli.
Analizziamo la seguente tabella:

Età	Abitanti
3-6	3450
6-14	14200
14-18	4520
18-25	1470
Totale	23640

Determiniamo l'ampiezza delle singole classi e calcoliamo l'altezza corrispondente

Età	Abitanti	ampiezza	altezza
3-6	3450	3	3450/3= 1150
6-14	14200	8	14200/8= 1775
14-18	4520	4	4520/4= 1130
18-25	1470	7	1470/7= 210
Totale	23640

Età	Abitanti	ampiezza	altezza
3-6	3450	3	3450/3= 1150
6-14	14200	8	14200/8= 1775
14-18	4520	4	4520/4= 1130
18-25	1470	7	1470/7 =210
Totale	23640

L'istogramma che otteniamo è pertanto il seguente:

7. Assegnata la tabella , che rappresenta la distribuzione delle abitazioni di nuova costruzione nell'anno 2000 secondo la superficie abitabile, trova le altezze dei rettangoli per fare la rappresentazione dei dati con un'istogramma.

Superficie in m2	1-95	95-110	110-130	130-180
N°abitazioni	95000	15555	9560	10250

Per rispondere segui il seguente ragionamento:
"La prima cosa che osserviamo è che le classi non hanno tutte la stessa ampiezza, in particolare la prima classe ha ampiezza  , la seconda classe ha ampiezza  ,la terza classe ha ampiezza  , la quarta classe ha ampiezza  .Dividendo allora le frequenze per le ampiezze delle varie classi troviamo che le altezze dei rettangoli sono h1= ,h2= ,h3= ,h4= "

8. Relativamente all'esercizio precedente ( clicca sul bottone tabella per rivedere la tabella ) dire qual è l'istogramma che la rappresenta.

   
   
   
   

Un altro modo molto usato per rappresentare graficamente i dati è il grafico a torta ( o a settori circolari ).

I grafici a torta sono dei particolari areogrammi costituiti da un cerchio, diviso in tanti settori quante sono le modalità rappresentate, e il cui angolo al centro è proporzionale all'intensità o alla frequenza relativa alla modalità considerata.
Facciamo un esempio:
Le ragazze di una classe sono state ripartite secondo il colore dei capelli ed abbiamo ottenuto la seguente tabella

Colore	Castano	Biondo	Nero	Rosso
N° ragazze	8	5	3	2

Per prima cosa dobbiamo andare a calcolarci le frequenze relative
f1=8/18=0.44    f2=5/18=0.278  f3=3/18=0.167   f4=2/18=0.111

Dobbiamo quindi andare a calcolare i relativi angoli al centro
1°=360°*0.44=160°     2°=360*0.278=100°   3°=360*0.167=60°   4°=360*0.111=40°
La tabella finale diventa pertanto la seguente:

Colore	Castano	Biondo	Nero	Rosso
N° ragazze	8	5	3	2
Freq.relativa	0.444	0.278	0.167	0.111
Angolo	160°	100°	60°	40°

Il grafico risultante è il seguente:

9. In una classe sono stati suddivisi i maschi a seconda del colore dei capelli e si è ottenuta la seguente tabella

Colore	Castano	Biondo	Nero	Rosso
N°alunni	3	4	4	1

Trova le frequenze relative e gli angoli al centro per poter fare la rappresentazione con un grafico a torta ( le percentuali scrivile con tre cifre decimali)
f_castano= f_biondo= f_nero= f_rosso= 
angolo_castano= angolo_biondo= angolo_nero= angolo_rosso= 

10. Identifica qual è il diagramma a torta corrispondente all'esercizio della domanda precedente.
( Puoi vedere la tabella se clicchi sul pulsante tab_capelli )

   
   
   
   

11. In una scuola vi sono 1080 ragazzi. Il grafico a torta che puoi vedere cliccando sul pulsante scuola, mostra le proporzioni degli alunni che raggiungono la scuola a piedi, in motorino, in autobus e in treno.
Rispondi alle seguenti domande:
a) Quanti ragazzi raggiungono la scuola a piedi?   
b) Quanti viaggiano in treno?  
c) Quanti in motorino?  

Fatta la rilevazione dei dati di un certo fenomeno, vi è la necessità di sintetizzare la distribuzione mediante dei valori che la caratterizzino e permettano di confrontarla con distribuzioni analoghe.
Uno di questi valori è dato dal valore medio.
Consideriamo una distribuzione di n dati a₁......a_n, si definisce media di n dati un qualsiasi valore che sia non minore del più piccolo e non maggiore del più grande.
E' necessario sottolineare che la media non deve necessariamente coincidere con uno degli n valori assegnati.
Lo scopo di qualsiasi media è il seguente:
La media di una distribuzione deve fornire un'indicazione sintetica dei dati della distribuzione stessa secondo un certo criterio.
In statistica si distinguono due tipi di medie:
1) medie ferme  ( o di calcolo ) che soddisfano una condizione di invarianza e che si calcolano tenendo conto di tutti i valori della distribuzione.Sono medie di questo tipo la media aritmetica, la media geometrica, la media quadratica e la media armonica .
2) medie lasche ( o di posizione ) sono quelle che si calcolano tenendo conto solo di alcuni valori . Sono medie di questo tipo la moda e la mediana.

12. Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali false

	V	F
			Il valor medio di una distribuzione deve necessariamente coincidere con uno dei valori della distribuzione
			In statistica si distinguono due tipi di medie, le medie ferme e le medie lasche.
			La media aritmetica e la media armonica sono medie ferme.

MEDIA ARITMETICA
Occorre fare distinzione fra media aritmetica semplice e media aritmetica ponderata a seconda che ciascun dato si presenti una sola volta oppure con una certa frequenza.
Si definisce media aritmetica di più numeri quel valore che, sostituito ai dati, lascia invariata la somma.
MEDIA ARITMETICA SEMPLICE
Data una distribuzione di n dati a₁ .......a_n la loro media aritmetica semplice si calcola


Esempio:
Consideriamo la seguente distribuzione 3,5,8,11,16,20,21 e calcoliamo la loro media aritmetica.
Essendo 7 il numero dei dati otteniamo

13. Nel corso dei primi 5 mesi un'azienda ha venduto le quantità di merce indicate nella tabella

Mese	Gennaio	Febbraio	Marzo	Aprile	maggio
q.tà venduta	1840	2020	1980	2160	2105

Quanto vale la media aritmetica?

   

MEDIA ARITMETICA PONDERATA
Se nella distribuzione ciascun dato si presenta un certo numero di volte, cioè con un certo peso ( o frequenza ) , il calcolo della media deve essere fatto tenendo conto del diverso peso di ciascun dato .
Supposto che

• il termine x₁ si presenti con frequenza f₁
• il termine x₂ si presenti con frequenza f₂
• ................................................
• il termine x_n si presenti con frequenza f_n

14. La tabella che segue indica il ritardo, espresso in minuti, con cui, durante il mese di maggio, il treno espresso Siracusa-Milano  è arrivato alla stazione di Milano

Ritardo	0	10	11	14	15	20	55	62	84
Giorni	6	12	1	3	4	2	1	1	1

Calcola il ritardo medio ( scrivi la soluzione con due cifre decimali nella forma ad es. 10,15)

   

Calcolo della media aritmetica ponderata nel caso di distribuzione per classi
In questo caso bisogna operare così:

• calcolare il termine centrale di ciascuna classe ( semisomma dei due estremi )
• assumere i termini centrali così ottenuti come termini della distribuzione
• calcolare la media ponderata come nel caso precedente

15. Su un pullman viaggiano 86 passeggeri. La loro distribuzione per classi di età è evidenziata dalla seguente tabella:

Classi di età	N° di passeggeri
0-10	8
10-20	16
20-30	21
30-40	19
40-50	12
50-60	5
60-70	5
Totale	86

Calcola l'età media dei passeggeri.
Per rispondere esattamente segui il seguente ragionamento:
"Il valore centrale della classe 0_10 è  ,Il valore centrale della classe 10-20 è  ,Il valore centrale della classe20-30 è  ,Il valore centrale della classe 30-40 è  ,Il valore centrale della classe 40-50 è  ,Il valore centrale della classe 50-60 è  ,Il valore centrale della classe 60-70 è  . L'età media è  

MEDIA GEOMETRICA
Se i dati sono tutti positivi e diversi da zero, si può calcolare la media geometrica.
Si utilizza la media geometrica quando ha senso moltiplicare tra loro i dati statistici, infatti la media geometrica è quel valore tale che se esso viene sostituito a ciascun dato il prodotto dei dati resta invariato.
MEDIA GEOMETRICA SEMPLICE
Data una distribuzione di n dati a₁.....a_n si dice media geometrica semplice la radice n-esima del loro prodotto

MEDIA GEOMETRICA PONDERATA
Presa una distribuzione in cui

• x₁ ha frequenza f₁
• x₂ ha frequenza f₂
• .....................
• x_n ha frequenza f_n
• indicato con f=f₁+f₂+......f_n

16. Calcola la media geometrica della seguente distribuzione:

Termini	1	5	7	10	13	15
Frequenze	5	9	14	18	11	8

( Scrivi il risultato con due cifre decimali nella forma 20,15)

   

17. Data la seguente distribuzione

determina x in modo che la media geometrica sia 24

   

MEDIA QUADRATICA
Con le stesse indicazioni relative alla media aritmetica e alla media geometrica scriviamo le formule relative alla:
MEDIA QUADRATICA SEMPLICE

MEDIA QUADRATICA PONDERATA


Se i dati sono raggruppati in classi vale lo stesso discorso fatto per la media aritmetica ponderata

18. Calcola la media quadratica della seguente distribuzione:

Termini	10	15	18	21	26
Frequenze	30	35	47	51	45

( Scrivi il risultato con due cifre decimali nella forma 20,48)

   

MEDIA ARMONICA
MEDIA ARMONICA SEMPLICE


MEDIA ARMONICA PONDERATA


Se i dati sono suddivisi in classi si procede come già detto per le altre medie.

19. Un gruppo di trenta operai è stato classificato in base al tempo impiegato a compiere una certa operazione secondo la seguente distribuzione:

tempo	16’	20’	24’	28’
operai	4	8	12	6

Calcola la media armonica dei tempi di lavorazione.
(Scrivi il risultato in questo modo ad es. 25')

   

20. Considerata la seguente distribuzione
77 ; 88; 150;180;210
calcola le varie medie.( Scrivi il risultato , se non è un intero,con tre cifre decimali nella forma 20,145)
M= 
M_g= 
M_q= 
M_a= 
Quale relazione esiste tra le medie? Mg>Mq>M>Ma Mg>Ma>M>Mq Mq>M>Mg>Ma Ma>Mq>M>Mg  

Passiamo ora ad analizzare le medie lasche.
MODA

Si definisce moda o termine modale di una distribuzione il termine al quale corrisponde la massima frequenza.
Nel caso di una distribuzione per classi anzichè parlare di termine modale parleremo di classe modale.
Data una distribuzione per classi, tutte di uguale ampiezza, si dice classe modale quella a cui corrisponde la maggiore frequenza, se le classi non hanno la stessa ampiezza la classe modale è quella alla quale corrisponde la più alta densità di frequenza, cioè il più alto rapporto tra frequenza ed ampiezza della classe.

21. Trova la moda della seguente distribuzione

Classi	0-100	100-200	200-400	400-600	600-1000
Frequenze	5000	6500	12300	14200	18400

Per rispondere esattamente inserisci i dati mancanti nella seguente tabella

Classi	0-100	100-200	200-400	400-600	600-1000
Frequenze	5000	6500	12300	14200	18400
Ampiezza
Freq/ampiezza

La classe modale è pertanto  

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