Passiamo ora ad analizzare le medie lasche.
MODA

Si definisce moda o termine modale di una distribuzione il termine al quale corrisponde la massima frequenza.
Nel caso di una distribuzione per classi anzichè parlare di termine modale parleremo di classe modale.
Data una distribuzione per classi, tutte di uguale ampiezza, si dice classe modale quella a cui corrisponde la maggiore frequenza, se le classi non hanno la stessa ampiezza la classe modale è quella alla quale corrisponde la più alta densità di frequenza, cioè il più alto rapporto tra frequenza ed ampiezza della classe.

1. Trova la moda della seguente distribuzione

Classi	0-100	100-200	200-400	400-600	600-1000
Frequenze	5000	6500	12300	14200	18400

Per rispondere esattamente inserisci i dati mancanti nella seguente tabella

Classi	0-100	100-200	200-400	400-600	600-1000
Frequenze	5000	6500	12300	14200	18400
Ampiezza
Freq/ampiezza

La classe modale è pertanto  

MEDIANA

Presa una distribuzione di dati disposti in ordine crescente la mediana è il termine che occupa il posto centrale.
Se il numero dei termini della distribuzione è pari, per calcolare la mediana basterà fare la semisomma ( cioè la media aritmetica ) dei due termini centrali.

Es:
1) Prendiamo la distribuzione formata dai termini 3;8;6;21;15
- Disponiamoli in ordine crescente e otteniamo  3;6;8;15;21
  la mediana è allora Me=8
2) Prendiamo la distribuzione formata dai termini 2;7;32;45;21;48
- Disponiamoli in ordine crescente e otteniamo   2;7;21;32;45;48
- Essendo un numero pari di termini dobbiamo fare la semisomma dei termini centrali
  Me=(21+32)/2 = 26.5

2. Calcola la mediana della distribuzione
24;45;17;36;28;30

   

Analizziamo ora il calcolo della mediana per distribuzioni ponderate.

Il procedimento da attuare è il seguente :

• Calcolare le frequenze cumulate
• 
• si guarda in corrispondenza di quale termine la frequenza cumulata supera il dato trovato precedentemente.A questo termine corrisponde la mediana

3. Considerata la distribuzione:

Termini	Frequenze
14	26
15	28
16	22
17	26
18	20
19	16
20	3
Totale	141

Calcolare la mediana.
Per rispondere segui il seguente ragionamento:
"Essendo la somma delle frequenze un numero dispari  il dato da confrontare è  , la tabella delle frequenze cumulate vale:

Termini	Frequenze	Freq.cumulate
14	26
15	28
16	22
17	26
18	20
19	16
20	3
Totale	141

La mediana vale pertanto  "

La determinazione della mediana si complica quando siamo in presenza di una distribuzione per classi.
Con il procedimento analizzato precedentemente determiniamo la classe mediana, quindi per determinare la mediana faremo un calcolo che ora illustreremo:
Consideriamo la seguente distribuzione per classi:

Termini	Frequenze
20-30	60
30-40	92
40-50	114
50-60	86
60-70	40
70-80	8
Totale	400

Il totale delle frequenze è pari pertanto basta dividere per 2 e otteniamo 400/2=200
Aggiungiamo la colonna delle frequenze cumulate

Termini	Frequenze	Freq.cumulate
20-30	60	60
30-40	92	152
40-50	114	266
50-60	86	352
60-70	40	392
70-80	8	400
Totale	400

La classe mediana è quindi 40-50
Facciamo la seguente rappresentazione grafica

Dobbiamo impostare la seguente proporzione
(50-40):(266-152)=(x-40):(200-152)
10:114=(x-40):48

La mediana pertanto è 44.21.

4. I 136 dipendenti di una ditta sono stati classificati in base all'età,calcola l'età mediana:

Età	Dipendenti
18-26	60
26-32	19
32-38	14
38-44	12
44-50	15
50-56	10
56-62	6
Totale	136

Per rispondere segui il seguente ragionamento:
" La somma delle frequenze è pari pertanto il dato da confrontare è . La tabella con le frequenze cumulate è:

Età	Dipendenti	Freq.cumulate
18-26	60
26-32	19
32-38	14
38-44	12
44-50	15
50-56	10
56-62	6
Totale	136

La classe mediana è  
Il valore mediano é  (Scrivilo con due cifre decimali nella forma 40.35)

Passiamo ora ad analizzare gli indici di variabilità:ricordati che si ha variabilità quando i dati relativi ad un certo fenomeno statistico sono non tutti uguali.
Si definisce campo di variazione la differenza fra il maggiore ed il minore dei valori rilevati.
SCARTO SEMPLICE MEDIO
Dato un insieme di valori x₁.......x_n ed indicata con M la loro media aritmetica si definisce scarto semplice medio S_M il valore

Se i dati sono distribuiti con frequenze f₁.....f_n


Es: Assegnata la tabella:

Termini	frequenze
1	2
7	8
11	6
14	4

Calcola lo scarto semplice medio

Per prima cosa dobbiamo calcolare la media aritmetica, in questo caso quella ponderata

5. Le votazioni ottenute da due studenti  nelle prove di matematica sono le seguenti:
Studente A : 5,6,7,5,5,7,6,7
Studente B: 8,6,3,2,5,8,9,7
Calcola il campo di variazione per ogni studente, il loro voto medio e i loro rispettivi scarti semplici medi.
" Il campo di variazione di A è  , il campo di variazione di B è  ,la media aritmetica di A è  ,la media aritmetica di B è  , lo scarto semplice medio di A è  , lo scarto semplice medio di B è  . "
( I risultati non interi scrivili con due cifre decimali nella forma 10.25)

Si definisce scarto quadratico medio la media quadratica degli scarti della media aritmetica e si calcola:


Nel caso di dati distribuiti con frequenze avremo:


Es: Ad un corso di formazione gestito dal Comune partecipano 100 dipendenti che sono classificati per età come mostra la tabella:

Età	Dipendenti
25	18
26	22
27	24
28	16
29	20
totale	100

Per calcolare lo scarto quadratico medio dovremo calcolare intanto la media aritmetica e quindi aggiungere nella tabella due colonna,quella degli scarti e quella dei quadrati degli scarti
M=(25*18+26*22+27*24+28*16+29*20)/100 = 26.98 possiamo approssimarla a 27
La tabella diventa pertanto:

Età	Dipendenti	Scarti (x-M)	Quadrati degli scarti
25	18	-2	4
26	22	-1	1
27	24	0	0
28	16	1	1
29	20	2	4
totale	100	0	10

Siamo ora in grado di calcolare lo scarto quadratico medio:

6. Calcola lo scarto quadratico medio della seguente distribuzione per classi di un gruppo di 120 persone:

Statura	145-150	150-155	155-160	160-165	165-170	170-175	175-180	180-185
frequenze	5	11	15	20	34	18	13	4

Per rispondere segui il seguente ragionamento:
Dato che stiamo analizzando il caso di una distribuzione per classi troviamo il termine centrale di ogni classe

Statura	145-150	150-155	155-160	160-165	165-170	170-175	175-180	180-185
frequenze	5	11	15	20	34	18	13	4
Termine centrale

Calcoliamo la media aritmetica ponderata. Essa vale M= 
Per calcolare lo scarto quadratico medio passa al prossimo esercizio

7. Completa la tabella dell'esercizio precedente (Ricorda che M=165):

Classi	Freq.	Termini centrali	x-M	(x-M) ² .f
145-150	5	147
150-155	11	152
155-160	15	157
160-165	20	162
165-170	34	167
170-175	18	172
175-180	13	177
180-185	4	182

 

Lo scarto quadratico medio vale   ( Scrivi il risultato dello scarto con due cifre decimali nella forma 20.23)

Per misurare la variabilità spesso si usa la varianza:
Si definisce varianza il quadrato dello scarto quadratico medio , cioè la media aritmetica degli scarti al quadrato.

Il calcolo pratico della varianza può avvenire con questa regola:

dove M è la media aritmetica dei dati e ₂M è la media dei quadrati dei dati
Es: Consideriamo la seguente distribuzione 6;16;28;31;34 e calcoliamo la varianza

• per prima cosa calcoliamo la media aritmetica

• adesso calcoliamo la media dei quadrati dei dati

    

• applichiamo la regola per il calcolo della varianza e otteniamo

   

8. Calcola la varianza della distribuzione del peso in grammi di 40 confezioni di un certo prodotto sfruttando la formula
var=₂M-M².

Pesi	286	288	291	294	298
Freq.	3	7	10	14	6

( Scrivi la prima risposta con una cifra decimale nella forma 10.5 e le altre due  risposte con due cifre decimali nella forma 20.36)

La media aritmetica ponderata della distribuzione vale  
La media aritmetica ponderata dei quadrati dei dati vale  
La varianza vale  

9. Un campione estratto dalla popolazione degli abitanti di una città ha dato la composizione che puoi osservando se clicchi sul tasto città.
Sapendo che il campione ha ampiezza 5000 completa la tabella seguente e calcola il valore medio.

Età	Componenti	Valore centrale
0-20
21-40
41-60
61-80

La media aritmetica vale

10. Uno studente ha dato quattordici esami con la media del 27.
Al quindicesimo esame prende 30, quanto diventa la sua media ?
( Scrivi il risultato nella forma 30.4)

   

11. Un gruppo di studenti misura il peso di un oggetto usando due bilance A e B.
I dati ricavati ( in grammi ) sono riportati nella seguente tabella:

Misurazioni	Prima	Seconda	Terza	Quarta	Quinta
A	3.5	3.4	3.6	3.2	3.4
B	3.6	3.3	3.5	3.5	3.2

La media ritmetica di A vale   ( scrivi il risultato con due cifre decimali nella forma 20.45)
La media ritmetica di B vale    ( scrivi il risultato con due cifre decimali nella forma 20.45)
Lo scarto quadratico medio di A vale  ( scrivi il risultato con tre cifre decimali nella forma 20.451)
Lo scarto quadratico medio di B vale  ( scrivi il risultato con tre cifre decimali nella forma 20.451)
Essendo s_A minore maggiore  di s_B è più affidabile la bilancia  

12. Se M è la media aritmetica dei numeri
15,10,12,6,5,7,8,M
Quanto vale M?

    7
    8.6
    9
    7.2

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