Ad ogni punto P dello spazio corrisponde una terna ordinata  di numeri reali che rappresenta le coordinate cartesiane del punto P(x,y,z)

Se consideriamo nello spazio due punti A(x_A;y_A;z_A)  e  B(x_B;y_B;z_B)  possiamo  calcolare la lunghezza  del segmento AB applicando il teorema di Pitagora ed otteniamo

Analogamente a quanto fatto nel piano  si calcolano anche le coordinate del punto medio del segmento AB

1. La distanza tra i punti  P(-1;3:-2)   Q(0;-2;0)  

   
   
   
    8

2. Il punto medio del segmento che ha per estremi A(-4;6;4)  B(8;6;-4)  ha coordinate

    (-6;0;4)
    (-4;12;0)
    (2;6;0)
    (-12;0;8)

EQUAZIONE  DEL PIANO:
Siano P° ,P  due punti appartenenti ad un piano , u ,v  due vettori  paralleli al piano e non paralleli tra loro

I vettori PP°,u,v sono complanari e sono perpendicolari al vettore n pertanto
PP°.n=0 che rappresenta l'equazione vettoriale del piano
Svolgendo i calcoli si ottiene l'equazione  cartesiana generale del piano che è 
ax+by+cz+d=0

3. Determina per quale valore di k il punto P(5;7;1) appartiene al piano
x-2y+z+k=0

    8
    2
    -8
    0

Dalla geometria euclidea sai che tre punti distinti non allineati identificano un piano; andiamo adesso a determinare l'equazione di questo piano.
Esistono principalmente due procedimenti che andiamo a ricordare
ESEMPIO: Determina l'equazione del piano passante per i punti A(1;-2;1) B(3;1;-2) C(2;4;3)

Primo procedimento:
Si determinano i vettori AB e AC, si individua il vettore n ad essi perpendicolare poi , per determinare il termine noto d, si sostituisce nell'equazione cartesiana uno dei punti.

Si determina il vettore n imponendo la perpendicolarità con entrambi i vettori

Risolvendo il sistema si ottiene

il piano ha quindi equazione :24x-7y+9z+d=0   sostituendo ad es. le coordinate del punto A ottieni
24+14+9+d=0   cioè d=-47
Il piano ha così equazione    24x-7y+9z-47=0

4. Determina il piano individuato da A(1;1;1)  B(0;2;3)   C( 1;-1;-2)
Il vettore AB( ; ; )
Il vettore AC( ; ; )
n(a,b,c)  fornisce come soluzioni a=a ,b=-3a, c=2a   pertanto n( ; ; )
il piano  ha equazione  generica  
Sostituendo uno dei punti ottieni d= 
Il piano ha equazione  

Analizziamo adesso un secondo procedimento
ESEMPIO:piano per i punti A(1;-2;1) B(3;1;-2) C( 2;4;3)
Si determinano i vettori  AB   AC   e , preso un generico punto P(x,y,z) il vettore AP e si pone la complanarità  cioè il determinante della matrice creata dai vettori  è nullo


si pone il determinante della matrice uguale a zero

6(x-1)-3(y+2)+12(z-1)-3(z-1)+18(x-1)-4(y+2)=0
24x-24-7y-14+9z-9=0
24x-7y+9z-47=0

5. Determina il piano passante per i punti  A(1,1,1)  B(0;2;3)  C(1;-1;-2)
Il vettore AB ha componenti ( ; ; )   AC( ; ; )
Preso un generico punto P(x,y,z)  AP( ; ; )
Ponendo la condizione di complanarità ottieni che l'equazione del piano risulta  

Piani in posizioni particolari
a=0   :  parallelo all'asse  x
b=0   :  parallelo all'asse  y
c=0    : parallelo all'asse z
d=0    : piano passante per (0;0;0)
x=k    : piano parallelo al piano Oyz
y=k    : piano parallelo al piano  Oxz
z=k    : piano paralleo al piano  Oyz

6. Scrivi l'equazione del piano passante per A(2;3;8) e parallelo al piano Oxy

    x=2
    Y=3
    Z=8
    x+y+z=13

Condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra piani.

Due piani sono paralleli se lo sono i loro vettori direttori

Due piani sono perpendicolari se lo sono anche i loro vettori direttori

7. Scrivi l'equazione del piano passante per A( 2;-1;-1)  e parallelo al piano  5x+2y-3z-2=

    5x-2y-3z=0
    2x-5y=9
    5x+2y-3z-11=0
    3x+5z-1=0

EQUAZIONI DI UNA RETTA NELLO SPAZIO

Considera nello spazio una retta r passante per P_o(x₀,y₀,z₀) e parallela al vettore u di direzione (l,m,n).
Un punto P(x,y,z) appartiene ad r se e solo se PP_o è parallelo al vettore u.
Equazione vettoriale della retta r :  PP_o=tu
Svolgendo i calcoli si ottengono le equazioni parametriche della retta r

Eliminando il parametro t tra le equazioni si ottengono le equazioni normali della retta r

Tenendo conto che nello spazio due piani non paralleli si intersecano lungo una retta r , la sua equazione generale è determinata da


Rette parallele hanno vettori direttori paralleli
Rette perpendicolari hanno vettori direttori perpendicolari

8. Determina l'equazione della retta passante per il punto P(5;-4;-5) e di vettore direttore (-2;2;1)

   
   
   
   

9. Determina la retta  passante per i punti A( -6;0;4)  e  B ( 4;-2;0)
Dobbiamo come prima cosa determinare il vettore direttore AB
AB( ; ; )
Scriviamo quindi la retta passante per A e con vettore direttore AB
x= + t
y= t
z=  

10. La retta

scritta in forma normale diventa :

   
   
   
   

Dato il piano  p  di equazione ax+by+cz+d=0 e la retta r

 possiamo stabilire se la retta è parallela al piano , se la retta è perpendicolare al piano, se la retta interseca il piano in un punto
Occorre tenere presente che il vettore direttore della retta  stabilisce la direzione della retta mentre il vettore direttore del piano stabilisce la direzione perpendicolare al piano pertanto:
a)  la retta r è perpendicolare al piano p  se   i loro vettori direttori sono paralleli cioè:
    
b) la retta r è parallela al piano p  se i loro vettori direttori sono perpendicolari cioè il loro prodotto scalare è nullo
    al+bm+cn=0
c) se non sono verificate le prime due condizioni la retta interseca il piano in un punto

11. Qual è l'equazione della retta passante per A(1;-2;5) e perpendicolare al piano 3x-7y+9z+1=0?

   
   
   
   

12. Quale tra i seguenti piani è parallelo  all retta di equazione


    x+y+2z=8
    2x+2y+4z=11
    5x+y-3z=0
    -2x-2y+4z-1=0

Per trovare il punto di intersezione tra una retta ed un piano  è sufficiente
- sostituire x,y,z della retta nell'equazione del piano
- ricavare t
- sostituirlo nella retta

13. Determinare il punto di intersezione della retta

e del piano   4x+2y+3z=1

Sostituendo le incognite x,y,z nel piano ottieni 4(3+t)+2(2-2t)+3(5+t)=1
Svolgendo i calcoli ottieni  t=  cioè t= 
Sostituisco questo valore di t nella retta ed ottengo che il punto di intersezione ha coordinate
x=    y=   z= 

Nello spazio due rette possono essere 
COMPLANARI  :  giacciono sullo stesso piano   e possono essere incidenti , coincidenti , parallele
SGHEMBE  : non sono complanari e non hanno punti in comune
Per determinare la mutua posizione di due rette dovremo
a) determinare i rispettivi vettori direttori
b) se sono paralleli le rette  possono essere 
     parallele ( sistema  impossibile)
     coincidenti ( sistema con      soluzioni )
c)  se i vettori non sono paralleli  le rette possono essere
     incidenti  ( sistema ammette una soluzione )
     sghembe ( sistema impossibile )

14. Stabilire  la reciprica posizione delle rette


    parallele
    coincidenti
    incidenti
    sghembe

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