Un  sistema si dice lineare se tutte le equazioni che  lo compongono sono di primo grado.
Un sistema lineare di  m  equazioni  in   n  incognite  scritto in forma normale risulta

I numeri  a_ij sono i coefficienti   , i numeri b_i sono i termini noti  ed in particolare se sono tutti nulli il sistema si dice omogeneo
Un sistema che ammette soluzioni si dice compatibile ed in particolare se ammette una sola soluzione si dice determinato, se ammette infinite soluzioni si dice indeterminato; un sistema che non ammette soluzioni si dice incompatibile o impossibile
E' spesso utile scrivere un sistema in forma matriciale ; indicata con A la matrice dei coefficienti,  B il vettore termini noti, X il vettore incognite



Si ottiene il sistema AX=B

1. Il sistema scritto in forma matriciale

a quale dei seguenti sistemi scritti in forma normale corrisponde?

   
   
   
   

Ci  interesseremo adesso della risoluzione di sistemi lineari in n equazioni ed n incognite

METODO DELLA MATRICE INVERSA

Assegnato un sistema in forma normale esso deve essere scritto in forma matriciale AX=B
Si calcola il Det(A) , se questo è diverso da zero vuol dire che la matrice è invertibile e si calcola A^-1
ricordando che A^-1.A=I  e moltiplicando per la matrice inversa da entrambe le parti dell'uguaglianza si ottiene
                X=A^-1 . B

ESEMPIO:
Risolvere il sistema


Si calcola adesso il prodotto A^-1.B

2. Risolviamo insieme un sistema con il metodo della matrice inversa :


DET(A)= -9 -15 15 9    1/15 -1/15 1/5 -1/5   4/15 -4/15 1/5 -1/5   1/15 -1/15 1/5 -1/5   4/15 -4/15 1/5 -1/5  Pertanto la soluzione sarà:x₁= 7/3 1/3 -7/3 -1/3  x₂= 2 -2 7/3 1/3  

Risolvi adesso  in modo autonomo un sistema in 3 equazioni e 3 incognite usando il metodo della matrice inversa; il calcolo risulterà più complesso perchè maggiori saranno i calcoli per determinare ,come sai , la matrice inversa.

3. La soluzione del sistema

è:

    x=3
y=3
z=0
    x=1
y=2
z=3
    x=-1
y=2
z= 5
    x=1
y=3
z=2

Poichè il calcolo della matrice inversa è piuttosto laborioso analizziamo un altro procedimento per risolvere un sistema lineare :

METODO DI CRAMER:
Dato un sistema  in n equazioni ed n incognite  se det(A)‡0  ( A matrice dei coefficienti) il sistema ammette una ed una sola soluzione determinata con la regola:

dove X_i rappresenta la matrice ottenuta sostituendo nella colonna i_esima i termini noti

ESEMPIO: Risolvere il seguente sistema con il metodo di Cramer

Si calcola il determinante della matrice dei coefficienti

det(A)=4
Si costruiscono poi le matrici X_i e se ne calcola il determinante:

4. Risolvi il sistema

con il metodo di Cramer
detA= detX= detY= detZ= 
Pertanto le soluzioni sono x= y= z= 

Risolvi adesso in modo autonomo un sistema con il metodo di Cramer

5. Risolvi


    x=5
y=0
z=-2
    x=1
y=1
z=2
    x=0
y=-2
z=2
    x=5
y=-2
z=-2

Un ulteriore metodo per risolvere i sitemi lineari è quello di Jordan-Gauss
Questo procedimento consiste nell'operare sulla matrice dei coefficienti in modo che essa diventi la matrice identità, così facendo i termini noti rappresentano le soluzioni del sistema.

ESEMPIO:
Risolvere il sistema

Scriviamo la matrice completa:

Gli elementi a₂₁  e   a₃₁  devono  diventare 0 pertanto le righe R₂ e R₃ verranno calcolate applicando la riduzione in questo modo:
R₂=2R₁+3R₂       R₃=R₁-3R₃
si ottiene così la matrice:

Adesso devono azzerarsi gli elementi      
Pertanto

si ottiene così la matrice:

Dividiamo l'ultima riga per 93  ed azzeriamo gli elementi      
Pertanto

Si ottiene la matrice

si divide la prima riga per  -33 , la seconda per 11  e otteniamo

 

6. Risolvi con il metodo di Jordan Gauss il sistema

Eliminando gli elementi 
ottieni la matrice

   
   
   
   

7. Passiamo ora ad azzerare gli elementi  

della nuova matrice ; otterrai così la matrice :

   
   
   
   

8. Passiamo  adesso ad azzerare gli ultimi elementi

Ottieni così la matrice :

   
   
   
   

9. Siamo finalmente arrivati a stabilire le soluzioni del sistema .
x=              y=              z= 

A questo punto bisogna affrontare il caso generale: numero equazioni  diverso dal numero delle incognite
Useremo un teorema che ci permette di stabilire se un sistema è risolubile confrontando il rango della matrice dei coefficienti ed il rango della matrice completa:

TEOREMA DI ROUCHE'-CAPELLI
Un sistema lineare ammette soluzione se e soltanto se il rango della matrice dei coefficienti uguaglia il rango della matrice completa.
In particolare se r(A)=r(C)=r   e le incognite sono n il sistema è
DETERMINATO  se  n=r
INDETERMINATO  se  r<n   con                      soluzioni

Questo teorema ci permette di dire che se A e C hanno rango diverso  il sistema è impossibile

ESEMPIO:
Stabilire la risolubilità del sistema:

Scriviamo la matrice dei coefficienti e calcoliamo il suo rango

non essendo una matrice quadrata si determina una sottomatrice quadrata ad esempio

Scriviamo la matrice completa e se ne calcola il rango

Anche il r(C)=2  pertanto il sistema è risolubile
Dobbiamo stabilire se è determinato oppure indeterminato
r(A)=r(C)=2    n=2
Il sistema è determinato

10. Stabilisci se il seguente sistema è determinato,indeterminato, impossibile


r(A)= 1 2 3        r(C)= 1 2 3  Il sistema risulta determinato indeterminato impossibile  

Analizziamo adesso cosa comporta il teorema di Rouchè_Capelli  relativamente alla risolubilità di un sistema omogeneo.
Poichè i termini noti sono tutti nulli  r(C)=r(A)  pertanto il sistema è sempre risolubile; dobbiamo vedere quandp è determinato e quando è indeterminato.
Se det(A)=0  allora il rango di A è  minore del numero delle incognite e pertanto il sistema è indeterminato, in caso contrario il sistema è determinato.

11. Stabilire se il sistema omogeneo

è determinato o indeterminato.
Per prima cosa devi determinare il determinante della matrice dei coefficienti:
det(A)= ; poichè esso è nullo non nullo  allora il sistema è determinato indeterminato  

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