Analizziamo il caso più semplice della funzione quadratica :   y=ax²   con a‡0
a)  Il suo grafico è una curva chiamato parabola
b) Il suo grafico  risulta simmetrico rispetto all'asse y
c) L'intesezione con l'asse delle ordinate  è chiamato vertice
d) Se  a>0  la parabola ha concavità risolta verso l'alto ( se a<0 ha concavità risolta verso il basso)
e) Al crescere di |a| diminuisce l'apertura della parabola rispetto all'asse di simmetria

1. Relativamente alla funzione y=3x² stabilisci quale affermazione è vera e quale falsa

	V	F
			La parabola ha concavità rivolta verso l'alto
			La parabola ha vertice (3;0)
			La parabola è simmetrica rispetto all'asse x
			E' simmetrica rispetto all'asse y

Applichiamo adesso alla funzione una traslazione di vettore

L'equazione diventa  y=ax²+c
Questa parabola mantiene molte caratteristiche precedentemente evidenziate:
a) E' simmetrica rispetto all'asse y
b) Se a<0 (a>0) la sua concavità è rivolta verso il basso ( verso l'alto)
c) Al crescere di |a| diminuisce l'apertura della parabola
d) Il punto di intersezione con l'asse y è ancora il vertice che adesso ha coordinate V(0;c)

2. Qual è l'equazione della parabola in figura


   
   
   
   

Applichiamo adesso alla funzione y=ax²  una traslazione di vettore

La parabola ottenuta ha equazione

Le sue caratteristiche  sono :
a) Se a<0 (a>0) ha concavità rivolta verso il basso ( verso l'alto)
b) Al crescere del |a| diminuisce l'apertura della parabola
c)Il vertice è il punto V(a ;0)
d) L'asse di simmetria diventa la retta x=a

Il grafico sarà del tipo:

3. Qual è l'equazione della parabola in figura?



   
   
   
   

Applichiamo adesso una traslazione di vettore

L'equazione della parabola diventa :

Le sue caratteristiche sono :
a) Il vertice è il punto V di coordinate (a,b)
b) L'asse di simmetria è la retta x=a
c) Se a>0(a<0) la concavità è rivolta verso l'alto ( il basso)
d) Al crescere di |a| diminuisce l'apertura della parabola

4. Qual è l'equazione della parabola   di vertice (2;-4) e a=3?

   
   
   
   

5. Qual è l'equazione della parabola il cui grafico è :


   
   
   
   

Se svolgiamo i calcoli della funzione 

otteniamo una generica funzione di secondo grado y=ax²+bx+c
Uguagliando i coefficienti della x  si ottiene

Questa formula può essere  utile per trovare il vertice della parabola.
Assegnata una funzione quadratica analizziamo come trovare il vertice

PRIMO  METODO
Consiste nel riscrivere la funzione y=ax²+bx+c  nella forma y-b=a(x-a)²

Esempio: Trovare il vertice della parabola y=2x²-4x+5
a) Si mette in evidenza a ( nel nostro caso 2) tra i termini contenenti la variabile x
     y=2(x²-2x)+5
b) Si completa il binomio con un terzo termine così da ottenere lo sviluppo del quadrato di un binomio
    y= 2(x²-2x+1-1)+5
cioè  y=2[(x-1)²-1]+5
c) Si esegue la moltiplicazione
    y=2(x-1)²-2+5
d) Si portano i termini noti a sinistra dell'uguaglianza
     y-3=2(x-1)²
e) Si determina il vertice a=1     b=3

6. Qual è il vertice della parabola di equazione y=3x²-12x+1?
Seguiamo il ragionamento precedentemente spiegato:
Si mette in evidenza 3 -12 1  e si ottiene y= 3(x²-4x)+1 3(x²-4x+1/3)  Si aggiunge e toglie 2 4  
Si ottiene così y=3[(x-2)²-4]+1
Svolgendo i calcoli otteniamo y- 3 -3 11 -11  =3(x- 2 -2 4 -4  )^{2
Il vertice ha quindi coordinate} (2;11) (-2;11) (-2;-11) (2;-11)

SECONDO METODO   
Per determinare il vertice  si sfrutta la relazione

Si sostituisce il valore trovato nell'incognita x e troviamo così  b
Esempio : Trova il vertice della parabola di equazione y=2x²-4x+5

7. Qual è l'ascissa del vertice della parabola di equazione y=-x²+6x+9?

    3
    -3
    9
    -9

Per disegnare correttamente una parabola devi
a) trovare le coordinate del vertice
b) trovare l'asse di simmetria
c) trovare le intersezioni con gli assi cartesiani

Si è già detto come trovare il vertice e l'asse di simmetria , si analizza pertanto come trovare le intersezioni con gli assi cartesiani
INTERSEZIONI CON L'ASSE  DELLE ASCISSE
L'asse delle ascisse ha equazione y=0
Per trovare le intersezioni devo risolvere il sistema tra la prabola e l'asse x

Le intersezioni con l'asse x sono pertanto le soluzioni dell'equazione di secondo grado ; quindi
SE D>0 La parabola interseca l'asse x in due punti distinti
SE D=0  La parabola interseca l'asse x in un punto:il vertice
SE D<0  La parabola non interseca l'asse x

INTERSEZIONI CON L'ASSE DELLE ORDINATE
L'asse delle ordinate ha equazione x=0 ; risolvendo il sistema tra la retta e la parabola ottengo y=c
Pertanto l'intersezione è il punto A(0;c)

8. La parabola y=3x²+5x-2

	V	F
			Non interseca l'asse x
			Interseca l'asse y nel punto (0;2)
			Interseca l'asse x nei punti (1/3;0)  e (-2;0)
			Ha per asse di simmetria la retta x=-5/6

9. Quali delle seguenti affermazioni sulla parabola in figura è vera e quale falsa?

	V	F
			a<0
			c>0
			b<0
			D<0

10. L'equazione y= -x²+3x+4 può anche essere scritta nella forma

   
   
   
   

11. la parabola y=2x²+6x+12
ha come asse di simmetria la retta

    x=6
    x=-3
    x=3
   

12. Se si trasla la parabola di equazione

ottieni:

   
   
   
   

13. Determina gli elementi caratteristici della parabola di equazione
y=-2x²+8x
a è negativo positivo  quindi la parabola volge la concavità verso l'alto il basso  
poichè c=0 Non interseca l'asse x Non interseca l'asse y Passa per l'origine (0;0)  .L'ascissa del vertice è a= -2 2 -4 4  L'ordinata del vertice è b= -24 -64 0 8  
Le intersezioni con l'asse delle ascisse  sono rappresentate dai punti di coordinate
(0;0) e (4;0) (0;0) e (0;4) (-4;0) e (4;0)  

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