Un'equazione  , nella variabile  x , è di secondo grado  quando il polinomio A(x) ottenuto riducendo l'equazione a forma normale  è un polinomio di secondo grado.
Un'equazione di secondo grado si presenta nella forma :
         
L'equazione si definisce
  completa  se  b¹0   e   c¹0
 incompleta se b=0  o  c=0

In questo ultimo caso l'equazione si definisce monomia  se b=0  e   c= 0
                                                 pura        se  b=0  e  c ¹0
                                       spuria      se  b¹0   e  c=0

1.
Associa  ad ogni equazione la corretta definizione

    completa monomia pura spuria 3x2-12x+11=0
    completa monomia pura spuria -6x2+56x=0
    completa monomia pura spuria 25x2=0
    completa monomia pura spuria 14x2+5=0
    completa monomia pura spuria 2x2+x+1=0
    completa monomia pura spuria -4x2+23x=0

Impariamo a risolvere  equazioni di secondo grado
Cominciamo dalle equazioni incompleta e più precisamente  dall'equazione monomia
Questa si presenta nella forma

Per trovare le soluzioni si divide per a e si ottiene x²=0
L'equazione ammette due soluzioni coincidenti x₁=x₂=0  o si può anche affermare che la soluzione x=0 è soluzione doppia.
L'insieme delle soluzioni di un'equazione monomia è pertanto S={0}

ESEMPIO:

Risolviamo l'equazione  7x²=0
Si divide per 7  e si ottiene x²=0 cioè S={0}

2. Determina le soluzioni dell'equazione  49x²=0

    S={±7}
    S={0}
    S={±1/49}
    S={}

Passiamo adesso a risolvere un'equazione pura
Questa si presenta nella forma ax²+c=0
Per determinare le soluzioni di questa equazione  si ricava x² e si ottiene
                  
poichè x² essendo un quadrato non è mai negativo l'uguaglianza sarà verificata se e solo se - c/a > 0

Bisogna quindi distinguere due casi :

1) I termini a e c sono concordi
Se a e c sono concordi a/c è positivo e pertanto -c/a è negativo e quindi l'equazione non ammette soluzioni reali
L'insieme delle soluzioni diventa così S=Ø
2) I termini a e c sono discordi 
Se a e c sono discordi c/a è negativo e pertanto - c/a è positivo  e l'equazione ammette 2 soluzioni  opposte.
Per determinarle occorre estrarre la radice quadrata

L'insieme delle soluzioni risulta


ESEMPIO:

1) Risolvere l'equazione  -5x²-6=0
Si controllano i termini  a e c    a=-5   c=-6  sono concordi pertanto S=Ø

2) Risolvere l'equazione 3x²-12=0
a=3    c=-12  sono discordi pertanto l'equazione ammette soluzioni
x²=4   quindi

L'insieme delle soluzioni è S={-2;+2}

3. Risolvi la seguente equazione   5x²-45=0
Il coefficiente a= 5 -45    il coefficiente c= 5 -45  Poichè sono concordi discordi  l'equazione ammette come insieme di soluzioni
S= Ø {-3;3}  

Passiamo a risolvere l'ultimo tipo di equazione incompleta di secondo grado e cioè l'equazione spuria
Questa si presenta nella forma ax²+bx=0
Per determinare le soluzioni è necessario effettuare il raccoglimento a fattor comune mettendo in evidenza x
Si ottiene quindi  x(ax+b)=0
Per la legge dell'annullamento del prodotto si pone 
x=0  o   ax+b=0  che risolte ci forniscono le soluzioni

L'insieme delle soluzioni è pertanto


ESEMPIO:
Risolvere l'equazione 4x²+6x=0
Si raccoglie a fattor comune e si ottiene 2x(2x+3)=0
Pertanto 2x=0  o   2x+3=0
Le soluzioni sono
 

4. Risolvi l'equazione  3x²-12x=0
Raccogliendo a fattor comune ottieni x 3x  ( x-4 x2-12x  )=0
Per la legge di annullamento del prodotto ottieni 3x 3  =0 e x-12 x-4  =0
Le soluzioni sono quindi x= -3 0   o   x= 4 -4  

Adesso ti verranno fornite alcune  equazioni di secondo grado incomplete di cui dovrai determinare la soluzione; per alcune di esse ,il cui calcolo è più complesso, dovrai munirti di penna e foglio per svolgere i calcoli

5. Risolvi l'equazione
5x²-15x=0

    S={-3;-5}
    S=Ø
    S={0,3}
    S={5,15}

6. Risolvi l'equazione 9x²+36=0

    S=Ø
    S={-2;2}
    S={0;-4}
    S={0}

7. Risolvi l'equazione
(x-3)(x-2)=6

    S={9;8}
    S=Ø
    S={0}
    S={0;5}

8. Risolvi l'equazione
(2x-2)(x+1)-7=-5

    S=Ø
   
    S={0;2}
    S={0}

9. Risolvi l'equazione
(x-2)(x-3)=6-5x

    S={0}
    S=Ø
    S={0;6}
   

10. Risolvi l'equazione
(x-1)²-(x+1)²=x²

    S=Ø
    S={-4;4}
    S={0;4}
    S={0;8}

11. Risolvi l'equazione


    S=Ø
    S={0;4}
    S={-4;0}
    S={-4;+4}

Quando risolvi una equazione fratta ricordati
1) Porre le C.E   cioè il m.c.m diverso da zero
2) una volta risolta l'equazione  se la soluzione non verifica le C.E non deve essere accettata e non farà parte dell'insieme soluzioni:

12. Risolvi l'equazione


    S=Ø
    S={-3;0}
    S={0;3}
    S={-3;3}

13. Assegnata la seguente uguaglianza :4x²-7x+3=...........
Essa diventa un'equazione monomia se sostituisco al posto dei puntini -7x +3 -7x+3 4x2  

Essa diventa un'equazione spuria se sostituisco al posto dei puntini -7x +3 -7x+3 4x2  

Essa diventa un'equazione pura se sostituisco al posto dei puntini -7x +3 -7x+3 4x2  

Essa diventa un'equazione di primo grado se sostituisco al posto dei puntini -7x +3 -7x+3 4x2  

14. Stabilisci il valore di verità delle seguenti affermazioni:

	V	F
			Un'equazione pura ammette sempre due soluzioni opposte
			Un'equazione spuria ammette sempre due soluzioni distinte
			Un'equazione monomia può ammettere soluzioni non reali
			Un'equazione pura non ammette soluzioni reali se a e c sono discordi

Adesso si passa alla risoluzione di un'equazione completa di secondo.
Essa si presenta nella forma  ax²+bx+c=0   con  a¹0  e  b¹0  e  c¹0
A questa equazione non è applicabile nessuno dei procedimenti precedentemente analizzati tuttavia si può facilmente risolvere applicando una formula risolutiva.
Per prima cosa si deve calcolare il discriminante   D
                                        D = b²-4ac
 Se  D < 0 l'equazione non ammette soluzioni reali
 Se  D =0  l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti individuate dalla formula
                                
 Se D>0  l'equazione ammette due soluzioni reali distinte individuate dalla formula
                                
Vediamo quindi come si risolvono le equazioni complete di secondo grado
ESEMPIO 1:
2x²-3x+14=0
a=2    b=-3     c=+14    Si calcola D=(-3)²-4(2)(14) = 9-112 = -103<0  pertanto l'equazione non ammette soluzioni reali e l'insieme delle soluzioni è S=Ø

ESEMPIO 2:
x²-4x+4=0
   a=1    b=-4     c=+4  Si calcola D=(-4)²-4(1)(4)= 16-16 =0 pertanto l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti
                                   x₁=x₂=-(-4)/2 = 2
e l'insieme delle soluzioni è S={2}

ESEMPIO 3:
2x²-3x+1=0
a=2   b=-3   c=+1   Si calcola D=(-3)²-4(2)(1)= 9-8 =1  >0  pertanto ammette due soluzioni reali distinte
                             
L'insieme delle soluzioni è

15. Assegnata l'equazione
-5x²+x-7=0
I coefficienti sono  a= -5 1 -7   b= -5 1 -7  c= -5 1 -7  
Il discriminante D= positivo negativo nullo  
Pertanto l'equazione non ammette soluzioni reali ammette due soluzioni reali coincidenti ammette due soluzioni reali distinte  
 

16. Completa lo svolgimento dell'esercizio:
risolvi l'equazione -2x²+5x-2=0
D=( -2 +2 -5 +5  )²-4( -2 +2 -5 +5  )( -2 +2 -5 +5  )= 9
essendo positivo l'equazione non ammette ammette due coincidenti ammette due distinte  soluzioni reali
x₁= 1/2 -1/2    x₂= 2 -2  

17. Risolvi l'equazione
4x²-5x+1=0

    S={-1;-1/4}
    S={1;1/4}
    S={1}
    S={1/4}

18. Risolvere l'equazione
5x²-8x+5=0

    S=Ø
    S={6,2}
    S={-4,2}
    S={4,-2}

Adesso ti verranno fornite alcune  equazioni di secondo grado incomplete di cui dovrai determinare la soluzione; per alcune di esse ,il cui calcolo è più complesso, dovrai munirti di penna e foglio per svolgere i calcoli

19. Risolvi  l'equazione
3(x+2)(x-2)-5x=0

    S=Æ
    S={6;-8/3}
    S={3;-4/3}
   

20. Risolvi l'equazione
(2x-1)²+18=4(2-x)(x+2)

    S={1}
    S=Ø
   
   

21. Risolvi l'equazione


    S=Ø
   
    S={-1}
    S={1}

22. Risolvi l'equazione


    S=Ø
    S={1;-0.3}
   
   

23. Completa lo svolgimento dell'esercizio:
Risolviamo  l'equazione fratta

Prima di determinare il dominio occorre scomporre in fattori primi ciascun denominatore
x² +3x= x(x-3) (x+3)(x-3) x(x+3)         x²+2x= x(x+2) (x+2)(x-2) (x+2)2       x²+5x+6= (x+3)2 (x+2)2 (x+2)(x+3)  
Il m.c.m risulta x2(x+2)(x+3) x2(x+2)2(x+3)2 x(x+2)(x+3)  Il dominio risulta R-{0,-2,-3} R-{0,2,3} R-{2,-3}  
Risolvendo l'equazione così ottenuta ottieni come soluzioni x₁= 0 2 6    x₂= 7 -7 1/7  
Delle due soluzioni 0 7  non è accettabile perchè non appartiene al dominio e pertanto l'insieme delle soluzioni
è S= {0,7} {0} {7}  

24. Risolvi l'equazione


    S=Ø
    S={2,3}
    S={3}
    S={2}

25. Risolvi l'equazione


   
    S=Ø
   
   

26. Soltanto una tra le seguenti equazioni  non ha come soluzione 2. Quale ?

    x²-x-2=0 
    3x²-6x=0 
    x²-2=0 
    2x²-7x+6=0 

27. L'equazione
x-1=x^2
ha:

    Due soluzioni reali distinte concordi
    Due soluzioni reali distinte discordi
    due soluzioni reali coincidenti
    non ha soluzioni reali

28. Determina due numeri naturali consecutivi tali che la somma dei loro quadrati  sia 313

    -12    -13
    12      13
    14    15
    nessuna delle precedenti

29. Trova due dispari naturali consecutivi il cui prodotto è 63

    -3    -21
    -7      -9
    3     21
    7    9

30. Risolvi l'equazione
3(x-1)²=5(x²-1)+2(x+1)²

   
    S=Ø
   
   

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