LIMITI FONDAMENTALI

PRIMO CASO



Generalizzando questo limite possiamo scrivere che


Vediamo di calcolare alcuni limiti che si risolvono applicando questo limite fondamentale:
1)


Al numeratore moltiplichiamo e dividiamo per l'argomento della funzione seno in modo da ottenere:


Applicando il limite fondamentale sappiamo che

pertanto il nostro limite rimane:


2)



Anche in questo caso dobbiamo moltiplicare e dividere per 2x, ma dobbiamo fare attenzione che la funzione seno è elevata al quadrato, pertanto:

Sfruttando il limite fondamentale sappiamo che

e otteniamo pertanto

1. Calcola il seguente limite:

Per rispondere esattamente segui il seguente ragionamento
"Sfruttando la relazione che tg5x= senx/cosx cosx/senx sen5x/cos5x cos5x/sen5x  , e moltiplicando e dividendo il numeratore per x 4x 5x 6x   e moltiplicando e dividendo il denominatore per x 4x 5x 6x  , facciamo comparire nel nostro limite due limiti fondamentali  , pertanto semplificando tutto per x 4x 5x 6x   siamo in grado di calcolare il limite che vale  

Un limite che è una diretta conseguenza di quello analizzato precedentemente è il seguente:




Guardiamo come lo otteniamo:
Ricordando la relazione fondamentale sen²x+cos²x=1 dalla quale otteniamo che
sen²x=1-cos²x   moltiplichiamo numeratore e denominatore per 1+cosx


Tutto questo può essere scritto come:

Ricordando pertanto il limite fondamentale il numeratore tende a 1, quindi il risultato del limite è ½

2. Calcola il seguente limite



    1-cos3x 1+cos3x sen²x sen²3x x 3x x² x 5/9 9/5 Moltiplichiamo numeratore e denominatore per
    1-cos3x 1+cos3x sen²x sen²3x x 3x x² x 5/9 9/5 svolgendo i calcoli al numeratore otteniamo
    1-cos3x 1+cos3x sen²x sen²3x x 3x x² x 5/9 9/5 al numeratore moltiplichiamo dividiamo tutto per lo stesso valore che ora indicherai e poi eleviamo al quadrato
    1-cos3x 1+cos3x sen²x sen²3x x 3x x² x 5/9 9/5 a questo punto dividiamo tutto per
    1-cos3x 1+cos3x sen²x sen²3x x 3x x² x 5/9 9/5 il risultato del limite che otteniamo è pertanto

LIMITI FONDAMENTALI

SECONDO CASO



Facciamo un esempio



All'esponente dobbiamo avere la stessa quantità che compare al denominatore, e quindi in questo caso 5x, allora moltiplicheremo e divideremo l'esponente per 5

3. Calcola il seguente limite


Per rispondere esattamente segui il seguente ragionamento:
"Osserviamo che all'interno della parentesi non è presente 1/x ma 2/x, pertanto 2/x lo scriviamo come x/2 1/2x 1/(x/2)  , a questo punto moltiplichiamo e dividiamo l'esponente per  . Il risultato del limite è quindi e e² e³  "

LIMITI FONDAMENTALI

TERZO CASO



dove la scritta log(1+x) indica il logaritmo naturale

Facciamo un esempio di applicazione



Per risolvere l'esercizio basta moltiplicare e dividere il numeratore per 3x ed otteniamo:

4. Calcola il seguente limite



" al denominatore l'argomento del logaritmo è 1+5x, e quindi per sfruttare il limite fondamentale dovremo moltiplicare e dividere per 1-5x 1+5x 5x x  .A questo punto semplificheremo numeratore e denominatore per   ed otterremo il risultato del limite che è  "

5. Calcola il seguente limite


    x 2x 3x 4x 1 3/4 4/3 Ricordando il primo limite fondamentale al numeratore moltiplichiamo e dividiamo per
    x 2x 3x 4x 1 3/4 4/3 Ricordando il terzo limite fondamentale al denominatore moltiplichiamo e dividiamo per
    x 2x 3x 4x 1 3/4 4/3 il risultato del limite è

LIMITI FONDAMENTALI

QUARTO CASO



Facciamo un esempio:



Per ricondursi al quarto limite fondamentale al numeratore basterà moltiplicare e dividere per l'esponente della funzione esponenziale, e cioè per 3x
Otteniamo pertanto



Ricordando che

possiamo scrivere

6. Calcola il seguente limite:


Per rispondere esattamente segui il seguente ragionamento:
" Sfruttando il primo secondo terzo quarto   limite fondamentale, al numeratore moltiplichiamo e dividiamo per  , sfruttando il primo secondo terzo quarto   limite fondamentale , al denominatore moltiplichiamo e dividiamo per  . Il risultato del limite è pertanto  "

Ora ti verranno proposti una serie di esercizi sui limiti fondamentali. Cerca di risolverli correttamente ricordando quanto abbiamo detto fino ad adesso

7. Calcola il seguente limite



   

8. Calcola il seguente limite:



   

9. Calcola il seguente limite

	V	F
			1/e²
			1/e³

10. Calcola il seguente limite:



   

11. Calcola il seguente limite



   

Facciamo ora un esempio di limite da risolvere per sostituzione



Quando dobbiamo calcolare limiti di questo tipo  dobbiamo fare un cambiamento di variabile, in particolare poniamo il denominatore uguale a y
y=x-1   da cui x=y+1

Il limite può essere scritto pertanto come:


Il secondo fattore tende a 1²=1 e quindi può non essere scritto più
Lavoriamo quindi solo sul primo fattore

12. Calcola il seguente limite



    x+2 x-2 y+2 y-2 (y+4)/y (y-4)/y y 2y 2 4 e^2 e^4 facciamo il cambiamento di variabile e poniamo y=
    x+2 x-2 y+2 y-2 (y+4)/y (y-4)/y y 2y 2 4 e^2 e^4 da questo otteniamo che x=
    x+2 x-2 y+2 y-2 (y+4)/y (y-4)/y y 2y 2 4 e^2 e^4 svolgendo i calcoli all'interno della parentesi otteniamo
    x+2 x-2 y+2 y-2 (y+4)/y (y-4)/y y 2y 2 4 e^2 e^4 mentre all'esponente otteniamo
    x+2 x-2 y+2 y-2 (y+4)/y (y-4)/y y 2y 2 4 e^2 e^4 moltiplicando e dividendo l'esponente per
    x+2 x-2 y+2 y-2 (y+4)/y (y-4)/y y 2y 2 4 e^2 e^4 e applicando il secondo limite fondamentale otteniamo il risultato che è

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