Analizziamo il calcolo di limiti che si presentano come forme indeterminate

FORMA INDETERMINATA


Analizziamo alcuni casi in cui si presenta questa forma indeterminata

PRIMO CASO

Numeratore e denominatore sono polinomi



Andiamo a calcolare questo limite ed otteniamo

Forma indeterminata.
Scomponiamo in fattori primi con la regola di Ruffini sia il numeratore che il denominatore, in quanto siamo a conoscenza che x=-1 è radice di entrambi
NUMERATORE

(x+1)(2x²+3x-10)

DENOMINATORE

(x+1)(4x-1)

Il limite ora diventa

Semplificando per il fattore x+1 otteniamo:

1. Calcola il seguente limite

Per risolvere l'esercizio segui il seguente procedimento
" Il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0, pertanto dobbiamo scomporre numeratore e denominatore con Ruffini

NUMERATORE

	3	-5	-2

Il numeratore scomposto diventa pertanto (x+2)(3x+1) (x-2)(3x-1) (x+2)(3x-1) (x-2)(3x+1)  
DENOMINATORE

	1		1	-10

Il denominatore scomposto diventa pertanto (x+2)(x²+2x+5) (x-2)(x²-2x+5) (x-2)(x²+2x+5) (x+2)(x²+2x-5)  

Andando a calcolare nuovamente il limite otteniamo la soluzione che vale 13/7 11/7 7/11 7/13  

2. Calcola il seguente limite


    (x-2)(x²+4x) (x+2)(x²+4x) (x-2)(x²+2) (x+2)(x²+2) x-2 x+2 2 -2 Il numeratore scomposto in fattori primi è
    (x-2)(x²+4x) (x+2)(x²+4x) (x-2)(x²+2) (x+2)(x²+2) x-2 x+2 2 -2 Il denominatore scomposto in fattori primi è
    (x-2)(x²+4x) (x+2)(x²+4x) (x-2)(x²+2) (x+2)(x²+2) x-2 x+2 2 -2 Possiamo semplificare entrambi i termini per
    (x-2)(x²+4x) (x+2)(x²+4x) (x-2)(x²+2) (x+2)(x²+2) x-2 x+2 2 -2 Il risultato del limite è pertanto

La forma indeterminata 0/0 si può trovare anche con funzioni irrazionale al numeratore, o al denominatore o in entrambi.

Guardiamo come dobbiamo procedere:


Se andiamo a sostituire alla variabile x il valore 1 otteniamo una forma indeterminata 0/0
Il denominatore è un polinomio e quindi lo scomponiamo con Ruffini come abbiamo fatto precedentemente
Il numeratore è una funzione irrazionale, pertanto applichiamo un procedimento tipo la razionalizzazione, cioè moltiplichiamo e dividiamo per lo stesso termine sfruttando il prodotto notevole a²-b²=(a-b)(a+b)

Otteniamo pertanto:

Applichiamo Ruffini al denominatore

denominatore diventa pertanto  (x-1)(x+4)
Passiamo allora a calcolare il limite

3. calcola il seguente limite:


Per risolvere l'esercizio segui il seguente ragionamento:
"Il numeratore scomposto in fattori primi diventa  , il denominatore essendo una funzione irrazionale deve essere razionalizzato e quindi si moltiplica e si divide per rad(x+5)+2 rad(x+5)-2 rad(x-5)-2 rad(x-5)+2  .Dividendo tutto per x+1 x-1   e sostituendo alla x il valore 1 -1   otteniamo che il limite vale  

4. Calcola il seguente limite


    (x+2)² (x-2)² (x+2)(x-2) rad(7x+15)+1 rad(7x+15)-1 x-2 x+2 2 -2 7/8 8/7 -7/8 -8/7 Il denominatore scomposto in fattori primi diventa
    (x+2)² (x-2)² (x+2)(x-2) rad(7x+15)+1 rad(7x+15)-1 x-2 x+2 2 -2 7/8 8/7 -7/8 -8/7 Il numeratore è irrazionale, pertanto motiplichiamo e dividiamo per
    (x+2)² (x-2)² (x+2)(x-2) rad(7x+15)+1 rad(7x+15)-1 x-2 x+2 2 -2 7/8 8/7 -7/8 -8/7 Dopo aver svolto i calcoli semplifichiamo tutto per
    (x+2)² (x-2)² (x+2)(x-2) rad(7x+15)+1 rad(7x+15)-1 x-2 x+2 2 -2 7/8 8/7 -7/8 -8/7 Sostituiamo a questo punto alla x il valore
    (x+2)² (x-2)² (x+2)(x-2) rad(7x+15)+1 rad(7x+15)-1 x-2 x+2 2 -2 7/8 8/7 -7/8 -8/7 Il risultato del limite è

Consideriamo ora un'altra forma di indeterminazione



Per poter calcolare limiti che presentano questa forma di indeterminazione basta mettere in evidenza al numeratore e al denominatore il grado massimo.
Vediamo come con un esempio:


Il numeratore è un polinomio di terzo grado, quindi mettiamo in evidenza x³
Il denominatore è un polinomio di secondo grado, quindi mettiamo in evidenza x²
Otteniamo pertanto:

All'interno delle parentesi i termini in cui compare la x al denominatore tendono a 0 , pertanto il limite rimane

5. Calcolare il seguente limite:


Per risolvere correttamente l'esercizo segui il seguente ragionamento
"Il numeratore è un polinomio di   grado e quindi mettiamo in evidenza x4 x3 x2 x  , il denominatore è un polinomio di  grado e quindi mettiamo in evidenza x4 x3 x2 x  .Il risultato del limite è pertanto  

6. Calcola il seguente limite:



    terzo grado secondo grado x² x³ 0 1 Il numeratore è un polinomio di
    terzo grado secondo grado x² x³ 0 1 Il denominatore è un polinomio di
    terzo grado secondo grado x² x³ 0 1 Al numeratore mettiamo in evidenza
    terzo grado secondo grado x² x³ 0 1 al denominatore mettiamo in evidenza
    terzo grado secondo grado x² x³ 0 1 Il limite risulta pertanto

Analizziamo ora come dobbiamo comportarci quando è presente una funzione irrazionale


Anche in questo caso dobbiamo mettere in evidenza il grado massimo, ma dobbiamo fare molta attenzione al radicale, guardiamo perchè:



Ora dobbiamo portare fuori il termine in x² dal radicale .
Ricordando la definzione scriveremo 

pertanto

Ricordando che |x|  vale x se x>0 e vale -x  se x<0, analizzeremo due casi

7. Calcola il seguente limite


Per rispondere esattamente segui il seguente ragionamento
"Mettendo in evidenza il grado massimo al numeratore e portando fuori otteniamo |x| *rad(9+11/x+23/x²) x *rad(9+11/x+23/x²)  , mettendo in evidenza il grado massimo al denominatore otteniamo .Ricordando la definizione di valore assoluto , passiamo a calcolare  il limite a più infinito meno infinito più e meno infinito  . Otteniamo pertanto come risultato   se x tende a più infinito meno infinito  , e   se x tende a più infinito meno infinito  

8. Calcola il seguente limite



    +1 -1 +5 -5 Il limite a più infinito vale
    +1 -1 +5 -5 il limite a meno infinito vale

Trattiamo ora l'ultimo caso di forma d'indeterminazione che prenderemo in considerazione:

Calcoliamo il seguente limite


Quando abbaimo un caso di questo tipo per prima cosa " razionalizziamo" in modo da ricondurre la forma di indeterminazione a quella analizzata precedentemente   quindi ci comporteremo come abbiamo visto negli esercizi precedenti



Dobbiamo ora mettere in evidenza il grado massimo ed otteniamo

9. Quale dei procedimenti che puoi vedere se clicchi sui bottoni primo e secondo, è quello giusto per calcolare il seguente limite ?

Nella soluzione scrivere primo o secondo

   

ora ti verranno forniti una serie di esercizi sul calcolo dei limiti, cerca di risolverli alla luce di quanto abbiamo visto precedentemente

10. Calcola il seguente limite


   

11. Calcola il seguente limite



   

12. Calcola il seguente limite


   

13. calcola il seguente limite:


   

Grazie per avere risposto alle domande. Premi il pulsante Invia per inviare le tue risposte.