LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

Ricordiamo la definizione di funzione:
Dati due sottoinsiemi A e B ( non vuoti ) di R, si definisce funzione un'applicazione da A in B che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B
L'insieme A viene chiamato dominio e l'insieme B viene chiamato codominio

CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI

Una funzione si dice algebrica se la sua espressione analitica y=f(x) contiene solamente operazioni di somma, sottrazione, prodotto, divisione,elevamento a potenza o estrazione di radice. Al suo interno si possono dividere in funzioni razionali o irrazionali a seconda che la variabile x non compaia o compaia sotto un segno di radice.In modo analogo parleremo di funzioni intere o fratte a seconda che la variabile x compaia solo al numeratore o anche al denominatore di un'espressione.
Se la funzione non è algebrica si dice che è trascendente.

ESEMPIO
Funzione razionale fratta: 

Funzione irrazionale intera :

Funzione trascendente: 

1. Classifica ognuna delle funzioni proposte

    razionale intera razionale fratta irrazionale intera irrazionale fratta trascendente
    razionale intera razionale fratta irrazionale intera irrazionale fratta trascendente
    razionale intera razionale fratta irrazionale intera irrazionale fratta trascendente
    razionale intera razionale fratta irrazionale intera irrazionale fratta trascendente
    razionale intera razionale fratta irrazionale intera irrazionale fratta trascendente
    razionale intera razionale fratta irrazionale intera irrazionale fratta trascendente

CAMPO D'ESISTENZA DI UNA FUNZIONE

Si definisce campo d'esistenza di una funzione il sottoinsieme di R in cui la funzione è definita  ( di norma viene indicato con CE )

Analizziamo qual è il campo d'esistenza delle funzioni razionali

1) FUNZIONI RAZIONALI INTERE
    Il campo d'esistenza è R

2) FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
    Il campo d'esistenza è R escluso i valori che annullano il denominatore della funzione

Esempio:


Per trovare il CE dovremo detrminare i valori di x per cui

che può essere scritto anche in questo modo:

2. Detrmina il CE della seguente funzione:

Per rispondere esattamente alla domanda segui il seguente ragionamento:
" La funzione è razionale intera fratta  , pertanto per trovare il suo CE dobbiamo andare a imporre la condizione che il suo numeratore denominatore  risulti essere uguale diverso  da zero.Il CE è quindi R-{1} R-{-1} R-{1;-1} R-{0}  "

3. Trova il CE della seguente funzione


( Se il CE fosse ad esempio  R-{2,4} scrivere  R-(2,4), fare attenzione a scivere le soluzioni dalla più piccola alla più grande )

   

FUNZIONI IRRAZIONALI

Per determinare il CE delle funzioni irrazionali, per prima cosa dobbiamo osservare l'induce del radicale


1° caso    n pari  allora  CE  f(x)>0
2° caso    n dispari   allora CE  è lo stesso CE di f(x)

Esempio:

a) 

L'indice è pari pertanto CE è dato da  4-x>0  cioè   x<4

b) 

L'indice è dispari, pertanto il suo CE abbiamo detto è lo stesso di f(x)
Essendo f(x) una funzione fratta il suo CE diventa 2x+1‡0     cioè x‡-1/2

4. Determina il CE della seguente funzione:

Per rispondere esattamente segui il seguente ragionamento:
" L'indice della funzione assegnata è pari dispari  , pertanto il suo CE è f(x)>=0 lo stesso di f(x)  . Risolvendo quindi la equazione disequazione  otteniamo che il CE della funzione assegnata è x=1 ; x=4 x<1 ; x>4 1<4 x<=1 ; x>=4  "

5. Dire quale tra i seguenti procedimenti permette di trovare il CE della seguente funzione:

Primo procedimento

Segno finale:

Quindi
CE:    x<0  v  x>1
Secondo procedimento

Terzo procedimento

Segno finale:

Quindi  


    primo procedimento
    secondo procedimento
    terzo procedimento

troviamo ora qualche CE di funzioni trascendenti

Funzioni logaritmiche:

Bisogna ricordare che una funzione logaritmica è definita da R⁺in R  e che la sua base a deve essere a>0 e diversa da 1

ES:

Per trovare il CE di questa funzione bisogna impostare il seguente sistema:


La soluzione è pertanto

6. Trova il CE della seguente funzione logaritmica:


   

7. Determina il CE della seguente funzione

Per risolvere correttamente l'esercizio segui il seguente ragionamento:
"La funzione assegnata è una funzione razionale irrazionale   intera, composta da tre radicali di indice pari. Il CE della funzione è dato pertanto dalle soluzioni comuni alle condizioni d'esistenza dei tre radicali e precisamente, per il primo radicale x>3 x>-3 x>=3 x>=-3  , per il secondo radicale x>0 x<0 x>=0 x<=0   e per il terzo radicale x>5 x<5 x>=5 x<=5  .Risolvendo il   di disequazioni così ottenuto, troviamo che il CE della funzione è : 3<5 x<3 v x>5 3<=x<=5 x>=0  

Facciamo ora l'esempio di una funzione goniometrica

Trovare il CE della funzione:


Questa è una funzione fratta per cui

al numeratore però compare anche la funzione tgx che sappiamo non essere definita a 90° e 270°, pertanto nel CE dobbiamo aggiungere la condizione

8. Determina il CE della seguente funzione:


    2cosx+1 2senx -1 30°+k360° 60°+k360° 150°+k360° 120°+k360° funzione fratta, pertanto per trovare il CE dobbiamo porre diverso da zero il termine
    2cosx+1 2senx -1 30°+k360° 60°+k360° 150°+k360° 120°+k360° le soluzioni che dobbiamo escludere sono due, quella del primo quadrante
    2cosx+1 2senx -1 30°+k360° 60°+k360° 150°+k360° 120°+k360° e quella del secondo quadrante

Ti verranno ora proposti una serie di esercizi dove potrai verificare se hai appreso correttamente come si determina il CE di una funzione

Ricorda di usare il seguente simbolismo nelle risposte
Se CE x>6  scrivi   x>=6
Se CE  1<x<3 v x>5     scrivi  1<x<3;x>=5
Se CE x¹2 e x¹-4    scrivi  R-(-4,2)    ( prima la soluzione più piccola poi la più grande )

9. Determina il CE della seguente funzione


   

10. Determina il CE della funzione


   

11. Trova il CE della seguente funzione


   

12. Trova il CE della funzione


   

13. Determian il CE della seguente funzione:


   

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