Si dice polinomio la somma algebrica di due o più monomi interi non simili;tali monomi si dicono termini del polinomio.
Un polinomio si dice binomio se è costituito da due termini, trinomio da tre,quadrinomio da quattro.

1. Quale delle seguenti scritture rappresenta un polinomio?

   
   
   
   

2. Associa ad ogni espressione il suo nome

    monomio binomio trinomio quadrinomio 7x^3*y-6x^3*y
    monomio binomio trinomio quadrinomio 3a-2a^2*x+3x-2a*x^2
    monomio binomio trinomio quadrinomio 2a^3+3a+1
    monomio binomio trinomio quadrinomio 2a*(a+b)-4(a+b)

Si dice grado complessivo ( o semplicemente grado ) di un polinomio il grado maggiore tra i gradi dei monomi che lo compongono.
Si dice grado rispetto a una sua lettera il massimo esponente con cui figura quella lettera.
Esempio:
Il polinomio

è di grado  5, in quanto 5 è il massimo tra  5,  3 e  4.
Il grado rispetto ad a è 2
Il grado rispetto a x è 5

3. Dato il polinomio

il grado del primo termine è 2 4 5 3  ;il grado rispetto a y è  7 8 5 4  ; 
il grado complessivo è  5 13 30 4  ;il grado rispetto a x  è   1 3 2 0  . 

Un polinomio si dice omogeneo se tutti i suoi termini sono dello stesso grado.
Un polonomio si dice ordinato secondo le potenze crescenti ( o decrescenti ) di una lettera se i suoi termini sono disposti in modo che gli esponenti di quella lettera siano crescenti  ( o decrscenti).
Un polinomio si dice completo rispetto ad una lettera se contiene tutte le potenze di quella lettera da quella di grado massimo fino aquella di grado zero (termine noto) compresa.

4. Quale tra i seguenti polinomi è omogeneo?

   
   
   
    3x³y-5xyz

5. Quale tra i seguenti polinomi è ordinato secondo le potenze crescenti di a?

   
   
   
   

6. Quale tra i seguenti polinomi è completo rispetto alla lettera x ?

   
   
   
   

7. Il polinomio

	V	F
			è omogeno
			è ordinato secondo le potenze decrescenti di x
			è completo rispetto alla lettera x
			è ordinato secondo le potenze crescenti della z

8. Rispetto alla lettera a, associa a ciascuno dei seguenti polinomi  la definizione corretta 

    di grado 7 omogeneo completo ordinato in modo decrescente 2a^3*x+4a^2*x^2-4a^4
    di grado 7 omogeneo completo ordinato in modo decrescente 2a-3-3a^2*x+4a^3*x
    di grado 7 omogeneo completo ordinato in modo decrescente a^5+4a^3-(2/5)ax
    di grado 7 omogeneo completo ordinato in modo decrescente a^2*x+5ax+4a^7

La somma di due o più polinomi è il polinomio che è formato da tutti i termini dei polinomi addendi. Se nel polinomio così ottenuto compaiono termini simili ,si devono sommare.
Esempio:

9. Quanto vale la somma


   
   
   
   

L'opposto di un polinomio è il polinomio che si ottiene cambiando segno a tutti i termini del polinomio dato.
La differenza tra due polinomi è il polinomio che si ottiene aggiungendo al primo l'opposto del secondo.
Esempio:

10. Quanto vale la differenza


   
   
   
   

11. Quale risultato si ottiene svolgendo


   
   
   
   

12. Quale risultato si ottiene svolgendo


   
    -17a+8b+6
    -17a+6
    5a-9-8b

Il prodotto di un monomio per un polinomio si esegue con la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla addizione;quindi è uguale al prodotto del monomio per ciascun termine del polinomio.
Esempio:

13. Qual è il risultato di


    -23a-5
   
   
   

14. Che cosa va sostituito al posto dei puntini per rendere vera l'uguaglianza?
(2x-a)(.......)=2bx²-abx

    bx²-bx
    bx²
    bx-b
    bx

Il prodotto di due polinomi è il polinomio che ha per termini tutti i prodotti che si ottengono moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo (applicando quindi la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla addizione ).
Il polinomio prodotto ha per grado la somma dei gradi dei polinomi dati.
Esempio:

riducendo i termini simili

15. Qual è il risutato di
(2a²+ab)(3a-b)

è

   
   
   
   

16. Che cosa devi sostituire al posto dei puntolini per rendere vera l'uguaglianza?


    0
   
   
   

17. Data l'espressione

quale dei seguenti passaggi presenta un errore?

    (2a²+2ab)(x-y)
   
    (2a²+2ab)(2ax-2ay)
   

Un polinomio si dice divisibile per un monomio non nullo se tutti i suoi termini lo sono, cioè se ogni termine del polinomio contiene tutte le lettere del monomio e con esponente maggiore o uguale.
Il quoziente tra un polinomio e un monomio si ottiene dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio.
Esempio:

18. Il quoziente tra


    non è un polinomio,perchè il polinomio non è divisibile per il monomio
   
   
   

19. Che cosa va sostituito ai puntini per rendere vera l'uguaglianza


   
   
   
   

20. Che cosa va sostituito al posto dei puntini per rendere vera l'uguaglianza


    c+1
   
    c
   

Con il termine prodotti notevoli si intendono delle moltiplicazioni tra polinomi particolari il cui risultato si può ottenere con delle procedure di calcolo, senza eseguire per esteso la moltiplicazione con la proprietà distributiva.
I prodotti notevoli che esamineremo, per ora, sono: il quadrato di binomio, il quadrato di trinomio,il prodotto tra la somma e la differenza di due monomi,il cubo di binomio.
Il quadrato di un binomio  è un trinomio formato dal quadrato del primo monomio,il quadrato del secondo monomio e il doppio prodotto del primo per il secondo monomio.
La seguente formula serve per memorizzare le operazioni da eseguire per elevare un binomio al quadrato

Esempio:
                    

21. Qual è lo sviluppo del quadrato di


   
   
   
   

22. Quale tra le seguenti uguaglianze è vera

	V	F

23. Il risultato di

è

   
   
   
   

24. Individua lo sviluppo di


   
   
   
   

25. Quale espressione va inserita per rendere ciascuna dei seguenti polinomi lo sviluppo del quadrato di un binomio?
25 + 10xy + x^2*y^2 xy 2xy 5x^2*y^2    
4x² - 12xy 36x^2*y^2 6xy 72xy  + 9y²
16a⁴-24a²+ 9 -9a^2 6 36  
x²+ 4xy 4x^6*y^2 4xy 4y4  +4y²

Il quadrato di un trinomio  è un polinomio di sei termini formato dal quadrato di ciascuno dei monomi del trinomio,dal doppio prodotto del primo per il secondo monomio,il doppio prodotto del primo per il terzo monomio e il doppio prodotto del secondo per il terzo monomio ( cioè i doppi prodotti di ciascun monomio ,via via ,per quelli che lo seguono).
La seguente formula permette di ricordare le operazioni da svolgere per elevare al quadrato un trinomio
Esempio:

26. Qual è lo sviluppo di


   
   
   
   

27. Inserisci in modo da rendere vere le uguaglianze
(2x+ +2 -2 -2y +2y  -3)²=4x²+4y²+9+8xy+ +6x -6x -12x +12x ^-12y

(1+x+ +2y -2y -4y +4y ⁾²=1+x²+16y²+2x+ -8y +8y -4y -4xy  -8xy

Il prodotto della somma per la differenza di due termini è uguale alla differenza dei loro quadrati.

Esempio:

28. Quanto vale


   
   
   
   

29. Inserisci  le espressioni che rendono vere le seguenti uguaglianze :

(2a-b)(b+ 2a -2a -4a^2 a^2  )=4a²-b²
-16a⁴- +4 -4 +2a -4a  =(-4a²+2)(4a²+2)
(x⁴+1)(x+1)(x-1)( x+1 x-1 x^2+1 x^2-1  )=x⁸-1
(a³+3ax²)(-a³+3ax²)= +a^5 -a^5 -a^6 -a^9 +9a²x⁴

30. Individua tra le seguenti uguaglianze quali sono vere e quali false

	V	F

31. Quali delle seguenti affermazioni sono vere?

	V	F
			Il quadrato di un monomio è sempre positivo
			Il quadrato di un binomio è un trinomio formato da monomi tutti positivi
			Il quadrato di un polinomio è uguale al quadrato del polinomio opposto
			Il quadrato di un polinomio è l'opposto del quadrato del polinomio opposto

Il  cubo di un trinomio  è un quadrinomio formato dal cubo di ciascun monomio ,dal triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo e dal triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo.
E' più facile ricordare le operazioni da eseguire per elevare al cubo un binomio con la formula:

purchè si sappia applicare correttamente; per questo conviene, prima,sostituire ad A e B nella formula  rispettivamente il primo e il secondo monomio del binomio dato, e poi svolgere le operazioni indicate, come si vede nel seguente
Esempio:

32. Qual è lo sviluppo di


   
   
   
   

33. Inserisci l'espressione che rende vera ciascuna  uguaglianza
(-3a-b)³=-27a³+ -27a^2*b +27a^2*b +9a^2*b -9a^2*b  -27ab²-b³
(-a³b+ab³)³=-a⁹b³+ +3a^4*b^4 +3a^5*b^6 +3a^7*b^5 -3a^7*b^5  -3a⁵b⁷+ +a^3*b^9 +a^9*b^(27) +a^3*b^6 -a^3*b^9  
(3-x)²(9-x²)(3+x)²=( x-3 3-x 9-x^2 x^2-3  )³(3+x)³

34. Data l'espressione

quale dei seguenti passaggi è corretto?

   
   
   
   

35. Il polinomio

è il risultato di

   
   
   
   

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