Parabola


Si usa la formula per trovare l'equazione di una parabola con asse parallelo all'asse y ogni volta che si conoscono le coordinate del vertice.
Per trovare a è utile tenere presente che

1. Scrivere l'equazione della parabola con vertice V=(2,4) e fuoco F=(2,-2).

Dato che il vertice ed il fuoco hanno la stessa   , l'asse della parabola è parallelo all'asse    . Dal momento che conosciamo le coordinate del vertice possiamo usare la formula   . Per determinare a usiamo che 
Inserendo le coordinate dei punti troviamo che a=  , per cui la parabola ha equazione:
 



Vediamo altri esempi di esercizi che si possono risolvere applicando la formula
Scrivi le risposte nella forma y-numero=a(x-numero)^2   senza usare spazi.
Il segno ^ si trova sulla tastiera sopra la i accentata, alla destra dei numeri.
Scrivi le frazioni nella forma N/M, sempre senza alcuno spazio.

2. Scrivere l'equazione della parabola di vertice V=(2,-4) e direttrice y=-1

   

3. Scrivere l'equazione della parabola avente fuoco F=(-1,4) e direttrice d: y= -2

   

4. Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y, vertice V=(-2,1) e passante per il punto P=(0,13)

   

Svolgendo i calcoli nell'equazione otteniamo l'equazione canonica della parabola con asse parallelo all'asse y: 
Questa è la forma con cui ci viene in genere comunicata negli esercizi l'equazione di una parabola ed è anche la formula che si deve usare per trovare una parabola ogni volta che non se ne conoscono le coordinate del vertice.

All'equazione   sono associate le seguenti formule:
vertice  con    (ma attenzione: per trovare la y del vertice è molto più pratico sostituire nell'equazione della parabola il valore trovato per la x del vertice!)
asse
direttrice 
fuoco

5. Il vertice della parabola ha coordinate:

    (-2,2)
    (2,2)
    (2,-2)
    (2,10)

6. La parabola ha asse

   
   
   
   

Vediamo ora un esempio di esercizio che chiede di detrminare l'equazione di una parabola, senza che si conoscano le coordinate del vertice.

7. Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y e passante per i punti A=(-1,-4),
B=(2,2), C=(3,0)

Risolviamo insieme
Il vertice non è noto, né è possibile stabilirne le coordinate in base alle informazioni in nostro possesso. Per trovare l’equazione della parabola useremo quindi l’equazione canonica . Dato che dobbiamo determinare 3 parametri (a,b,c) dovremo impostare un sistema di tre equazioni in tre incognite. Dal testo del problema dobbiamo quindi ricavare tre condizioni da tradurre in equazione. Sappiamo che la parabola deve passare per 3 punti, ciascuno di questi ci fornirà un’equazione.
Se un punto appartiene ad una parabola, le sue coordinate verificano l’equazione della parabola. Sostituiamo, un punto alla volta, le coordinate in .
Sostituendo A otteniamo  
Sostituendo B otteniamo  
Sostituendo C otteniamo  
Per determinare a, b, c mettiamo  a sistema le tre equazioni
Prova a risolvere da solo il sistema e verifica la soluzione, scrivendo l'equazione della parabola che ricavi (ricordati di scrivere senza lasciare spazi ed usa  x^2 per scrivere x al quadrato)



Prova a svolgere da solo l'esecizio seguente, del tutto analogo a quello che abbiamo appena risolto insieme

8. Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y e passante per i punti A=(0,9), B=(2,-1), C=(-1,7)

   

9. Quale fra i seguenti grafici rappresenta la parabola x=-y^2

   
   
   
   

10. Quale fra i seguenti grafici rappresenta la parabola y=x^2-5x+6?

   
   
   
   

11. Quale fra i seguenti grafici rappresenta la parabola x=y^2+2y

   
   
   
   

Parabola con asse parallelo all’asse x


Mediante una simmetria rispetto alla bisettrice del primo quadrante, una parabola con asse parallelo all’asse y viene trasformata in una parabola con asse parallelo all’asse x.



Le formule cambiano di conseguenza:
Parabola con vertice nell’origine ed asse coincidente con l’asse x 
Parabola con asse parallelo all’asse x   con
Equazione canonica della parabola con asse parallelo all’asse x 
Vertice 
Asse 
Fuoco 
Direttrice 
Ovviamente in un problema che chiede di determinare l'equazione di una parabola, dovremo prima di tutto capire, magari aiutandoci con un grafico, se il suo asse è parallelo all'asse x o all'asse y, per scegliere la giusta categoria di formule da applicare.

12. Determinare l'equazione della parabola con vertice V=(-2,5) e fuoco F=(3,5)

   

13. Determinare l'equazione della parabola con direttrice x=4 e fuoco F=(2,1)

   

I coefficienti dell’equazione canonica di una parabola
L’equazione canonica della parabola contiene tre coefficienti: a,b,c

- il segno di a dà la concavità della parabola: a>0 la concavità della parabola è rivolta verso la direzione positiva dell’asse a cui è parallelo l’asse della parabola, quindi verso l’alto se la parabola è del tipo y=…, verso destra se è del tipo x=…
- il valore assoluto di a dà l’apertura della parabola, cioè indica quanto la parabola è larga, una parabola è tanto più larga quanto più a è piccolo, per convincersi di questo basta pensare che se in  sostituiamo 1 alla x otteniamo y=a, cioè a è l’ordinata del punto di ascissa x della parabola con vertice nell’origine ed asse coincidente con l’asse y
- a non può mai essere 0 , questa condizione è indispensabile per avere l’equazione di una parabola (a è infatti il coefficiente del termine di secondo grado, se a fosse 0 si avrebbe una retta e non una parabola)
b
b è legato all’asse della parabola. Se b=0 l’asse della parabola coincide con uno degli assi cartesiani. Quindi se la parabola è del tipo y=.. e b=0 il vertice ha coordinate V=(0,c), se la parabola è del tipo x=… il vertice ha coordinate V=(c,0)
c
c dà la quota in cui la parabola interseca l’asse cartesiano a cui è parallelo il suo asse di simmetria, cioè se la parabola è del tipo y=… c ci dice dove la parabola interseca l’asse y, mentre se la parabola è del tipo x=… c fornisce l’intersezione con l’asse x. In particolare se c=0 la parabola passa per l’origine.

14. Stabilisci il segno dei coefficienti della parabola rappresentata nel grafico:

a                              b                 c  



15. Stabilisci il segno dei coefficienti dell'equazione della parabola rappresentata nel grafico


a            b          c  



16. Stabilisci il segno dei coefficienti dell'equazione della parabola rappresentata nel grafico


a      b       c  



17. Stabilisci il segno dei coefficienti della parabola rappresentata nel seguente grafico


a            b         c  



18. La parabola

    V F
      ha concavità positiva
      passa per l'origine
      è simmetrica rispetto all'asse x
      ha asse y=1/8
      l'ordinata del suo fuoco è minore di quella del suo vertice
      passa per (-1,5)
      ha direttrice parallela all'asse x

19. La parabola

    V F
      è rivolta verso il basso
      è simmetrica rispetto all'asse x
      ha vertice (0,2)
      ha vertice (2,0)
      ha fuoco (0,7/4)
      ha la stessa apertura di

Vediamo ora un esercizio composto di cinque domande. Per consentirti di comprendere meglio eventuali correzioni, ti saranno proposte in cinque quesiti successivi.
Per inserire le risposte usa i simboli =,>,< che trovi sulla tastiera; poichè il simbolo non è disponibile, se necessario scrivi direttamente diverso (esempio per scrivere , scrivi kdiverso1). Ricordati di non usare spazi.

20. Data l'equazione , determinare per quali valori di k rappresenta una parabola

(Se necessario, nella risposta scrivi per esteso "diverso", esempio kdiverso5, per scrivere k diverso da 5, ricorda di non usare spazi)

   

21. Data l'equazione , determinare per quali valori di k rappresenta una parabola con asse coincidente con l'asse delle ordinate

   

22. Data l'equazione , determinare per quali valori di k rappresenta una parabola passante per l'origine

   

23. Data l'equazione , determinare per quali valori di k rappresenta una parabola con concavità positiva

   

24. Data l'equazione , determinare per quali valori di k rappresenta una parabola con vertice nel secondo quadrante.

   
   
   
   

Che differenza c’è fra l’equazione di una parabola e quella di una circonferenza?
Nell’equazione canonica della parabola un’incognita figura al secondo grado e può non essere presente al primo, mentre l’altra deve assolutamente essere presente con esponente 1.
Ad esempio
 è una parabola, può infatti essere scritta nella forma
 non è una parabola perché manca il termine y, quindi non potrà mai essere scritta né nella forma y=… né in quella x=…
non è una parabola perché sia la x, sia la y sono di secondo grado.
Ricordiamo che per rappresentare una circonferenza, un’equazione deve avere:
-  e  con lo stesso coefficiente
- non devono esserci termini misti
- deve essere verificata la condizione di realtà :
Ti verrà ora proposta un'equazione contenente un parametro k e ti sarà richiesto di determinare per quali valori di k rappresenta una circonferenza e per quali una parabola. Anche in questo caso, per permetterti di controllare meglio i tuoi svolgimenti, ogni domanda sarà presentata come quesito a sè stante.

25. Determinare per quale valore di k l'equazione rappresenta una circonferenza

    k=5
    k=1
    k=-1
    k=0

Una parabola con asse parallelo all’asse y ha equazione del tipo , quindi affinchè l’equazione data rappresenti una parabola di questo tipo occorre che:

Nel nostro caso, queste condizioni si traducono nel sistema:

La prima e la terza sono disuguaglianze vere, quindi basta risolvere la seconda equazione, si ottiene k=1, valore in corrispondenza del quale l’equazione rappresenta una parabola con asse parallelo all’asse y

26. Data l'equazione determinare per quali valori di k rappresenta una parabola con asse parallelo all'asse y

   

27. Data l'equazione determinare per quali valori di k rappresenta una parabola con asse parallelo all'asse x

    k=1
    k=0
    k=-1
    nessun valore di k

Parabole e rette
Una retta ed una parabola possono essere fra loro:

Secanti :
se hanno due punti in comune


Tangenti :
se un punto in comune e la retta non è parallela all’asse della parabola

Esterne :
se non hanno punti comuni
I punti di intersezione fra una retta ed una parabola si possono determinare mettendo a sistema le loro equazioni. Si tratta di un sistema di secondo grado, dato che la retta ha un’equazione di primo grado e la parabola ne ha una di secondo. Il sistema si può risolvere per sostituzione, ad esempio, per praticità, si può decidere di sostituire sempre nella retta la variabile che ci viene fornita già ricavata dall’equazione della parabola (x, se la parabola è del tipo x=…, y se è del tipo y=…)
L’equazione che si ottiene, che chiameremo equazione risolvente del sistema, è di secondo grado, il numero delle sue soluzioni dipende dal suo . In particolare si ottiene la condizione di tangenza fra retta e parabola se .
Risolveremo ora insieme un esercizio sulla ricerca della retta tangente ad una parabola.

28. Determiniamo insieme le equazioni delle rette tangenti alla parabola passanti per il punto P=(5,0)

Scriviamo innanzi tutto la retta generica passante per P, usando la formula
Sostituendo le coordinate di P si ottiene  
Mettiamo a sistema l’equazione della retta e quella parabola.
Ricaviamo la sua equazione risolvente:

Ricaviamo il  e poniamolo uguale a 0

Abbiamo ottenuto un’equazione in m, che dovremo risolvere.
Svolgiamo i calcoli


Risolviamo ora questa equazione di secondo grado

        
Sostituendo i valori trovati nella retta generica passante per P si hanno le equazioni delle due rette tangenti:
per       si ha    
per        si ha     



Concludiamo con due esercizi in cui ti sarà richiesto di trovare l'equazione della retta tangente ad una parabola data.

Se non ricordi come devi procedere, clicca sul bottone "rette tangenti".

29. Detrminare l'equazione della retta tangente alla prabola  parallele alla retta  .

   

30. Determinare l'equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto di intersezione con l’asse delle ordinate

   


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