Parabola

I coefficienti dell’equazione canonica di una parabola
L’equazione canonica della parabola contiene tre coefficienti: a,b,c
a
- il segno di a dà la concavità della parabola: a>0 la concavità della parabola è rivolta verso la direzione positiva dell’asse a cui è parallelo l’asse della parabola, quindi verso l’alto se la parabola è del tipo y=…, verso destra se è del tipo x=…
- il valore assoluto di a dà l’apertura della parabola, cioè indica quanto la parabola è larga, una parabola è tanto più larga quanto più a è piccolo, per convincersi di questo basta pensare che se in

sostituiamo 1 alla x otteniamo y=a, cioè a è l’ordinata del punto di ascissa x della parabola con vertice nell’origine ed asse coincidente con l’asse y
- a non può mai essere 0 , questa condizione è indispensabile per avere l’equazione di una parabola (a è infatti il coefficiente del termine di secondo grado, se a fosse 0 si avrebbe una retta e non una parabola)
b
b è legato all’asse della parabola. Se b=0 l’asse della parabola coincide con uno degli assi cartesiani. Quindi se la parabola è del tipo y=.. e b=0 il vertice ha coordinate V=(0,c), se la parabola è del tipo x=… il vertice ha coordinate V=(c,0)
c
c dà la quota in cui la parabola interseca l’asse cartesiano a cui è parallelo il suo asse di simmetria, cioè se la parabola è del tipo y=… c ci dice dove la parabola interseca l’asse y, mentre se la parabola è del tipo x=… c fornisce l’intersezione con l’asse x. In particolare se c=0 la parabola passa per l’origine.

Vediamo ora un esercizio composto di cinque domande. Per consentirti di comprendere meglio eventuali correzioni, ti saranno proposte in cinque quesiti successivi.
Per inserire le risposte usa i simboli =,>,< che trovi sulla tastiera; poichè il simbolo

non è disponibile, se necessario scrivi direttamente diverso (esempio per scrivere

, scrivi kdiverso1). Ricordati di non usare spazi.

Che differenza c’è fra l’equazione di una parabola e quella di una circonferenza?
Nell’equazione canonica della parabola un’incognita figura al secondo grado e può non essere presente al primo, mentre l’altra deve assolutamente essere presente con esponente 1.
Ad esempio

è una parabola, può infatti essere scritta nella forma

non è una parabola perché manca il termine y, quindi non potrà mai essere scritta né nella forma y=… né in quella x=…

non è una parabola perché sia la x, sia la y sono di secondo grado.
Ricordiamo che per rappresentare una circonferenza, un’equazione deve avere:
-

con lo stesso coefficiente
- non devono esserci termini misti
- deve essere verificata la condizione di realtà :

Ti verrà ora proposta un'equazione contenente un parametro k e ti sarà richiesto di determinare per quali valori di k rappresenta una circonferenza e per quali una parabola. Anche in questo caso, per permetterti di controllare meglio i tuoi svolgimenti, ogni domanda sarà presentata come quesito a sè stante.

Una parabola con asse parallelo all’asse y ha equazione del tipo

, quindi affinchè l’equazione data rappresenti una parabola di questo tipo occorre che:

Nel nostro caso, queste condizioni si traducono nel sistema:

La prima e la terza sono disuguaglianze vere, quindi basta risolvere la seconda equazione, si ottiene k=1, valore in corrispondenza del quale l’equazione rappresenta una parabola con asse parallelo all’asse y

Parabole e rette

Una retta ed una parabola possono essere fra loro:

	Secanti : se hanno due punti in comune
	Tangenti : se un punto in comune e la retta non è parallela all’asse della parabola
	Esterne : se non hanno punti comuni

I punti di intersezione fra una retta ed una parabola si possono determinare mettendo a sistema le loro equazioni. Si tratta di un sistema di secondo grado, dato che la retta ha un’equazione di primo grado e la parabola ne ha una di secondo. Il sistema si può risolvere per sostituzione, ad esempio, per praticità, si può decidere di sostituire sempre nella retta la variabile che ci viene fornita già ricavata dall’equazione della parabola (x, se la parabola è del tipo x=…, y se è del tipo y=…)

L’equazione che si ottiene, che chiameremo equazione risolvente del sistema, è di secondo grado, il numero delle sue soluzioni dipende dal suo

. In particolare si ottiene la condizione di tangenza fra retta e parabola se

Risolveremo ora insieme un esercizio sulla ricerca della retta tangente ad una parabola.

28. Determiniamo insieme le equazioni delle rette tangenti alla parabola passanti per il punto P=(5,0)

Scriviamo innanzi tutto la retta generica passante per P, usando la formula
Sostituendo le coordinate di P si ottiene
Mettiamo a sistema l’equazione della retta e quella parabola.
_{Ricaviamo la sua equazione risolvente:}

Ricaviamo il e poniamolo uguale a 0

Abbiamo ottenuto un’equazione in m, che dovremo risolvere.
Svolgiamo i calcoli

Risolviamo ora questa equazione di secondo grado


Sostituendo i valori trovati nella retta generica passante per P si hanno le equazioni delle due rette tangenti:
per       si ha
per        si ha

Concludiamo con due esercizi in cui ti sarà richiesto di trovare l'equazione della retta tangente ad una parabola data.

Se non ricordi come devi procedere, clicca sul bottone "rette tangenti".

29. Detrminare l'equazione della retta tangente alla prabola parallele alla retta .

30. Determinare l'equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto di intersezione con l’asse delle ordinate

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Creato con WinAsks 2000 da Anna Gaggioli

V	F
		ha concavità positiva
		passa per l'origine
		è simmetrica rispetto all'asse x
		ha asse y=1/8
		l'ordinata del suo fuoco è minore di quella del suo vertice
		passa per (-1,5)
		ha direttrice parallela all'asse x

V	F
		è rivolta verso il basso
		è simmetrica rispetto all'asse x
		ha vertice (0,2)
		ha vertice (2,0)
		ha fuoco (0,7/4)
		ha la stessa apertura di