La parabola si definisce nel seguente modo:
Fissati nel piano un punto F e una retta d ( non passante per F) si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da F e da d

La retta perpendicolare alla direttrice e passante per il F  è detta asse di simmetria della parabola

E' possibile determinare l'equazione della parabola comunque siano disposti F e d , ma noi analizzeremo i casi più semplici

VERTICE IN O(0;0) ed asse  di simmetria coincidente con l'asse y


Vertice assegnato  e asse parallelo all'asse y  ottenuta dalla precedente con una traslazione di vettore  :

Svolgendo i calcoli dell'equazione precedente otterrai la funzione di secondo grado :

e con semplici calcoli tutti gli elementi della parabola in funzione di a ,b ,c

1. Una parabola ha equazione

le coordinate del fuoco sono:

   
   
   
   

2. Associa  ad ogni parabola  il relativo vertice
(A)

(B)

(C)

(D)

    (-1;2) (-1;3) (1;-3) (-2;1) (A)
    (-1;2) (-1;3) (1;-3) (-2;1) (B)
    (-1;2) (-1;3) (1;-3) (-2;1) (C)
    (-1;2) (-1;3) (1;-3) (-2;1) (D)

Negli esercizi capita spesso di dover trovare l'equazione di una parabola  a partire da condizioni geometriche assegnate
Analizziamo i casi che si presentano più frequentemente

Parabola con vertice assegnato e passante per un punto:
Esempio 
V(2;1)    P(4;5)
Si scrive la parabola nella forma

si sostituiscono le coordinate del punto:

Si sostituisce il valore di a nell'equazione e si ottiene:

3. Determina l'equazione della parabola con V(-1;3) e passante per A(1;-5)
La parabola ha equazione
y +1 -1 +3 -3  =a(x +1 -1 +3 -3  )²   ;  sostituendo le coordinate del punto A ottieni  = a    da cui ricavi
 
a= 2 -2  . L'equazione della parabola sarà pertanto y= x² x+ 

Determinare l'equazione di una parabola conoscendone il vertice e fuoco:

ESEMPIO:   V(2:4)    F(2;7)
METODO  1:
La parabola ha equazione

Per determinare  a   si  può sfruttare   la relazione
           
 Essendo p l'ordinata del fuoco quando il vertice è nell'origine
Si applica quindi la traslazione

che porta V  in  (0;0)  ed il fuoco viene ad avere coordinate  (0;3) pertanto

L'equazione della parabola diventa :


Oppure  puoi  sfruttare   direttamente che

METODO 2:
 
pertanto nel nostro caso

L'equazione della parabola risulta:



Oppure , se preferisci risolvere i sistemi  indipendemente da metodi più veloci  e con calcoli meno complessi,
METODO 3:
imposti un sistema sostituendo le formule del vertice e del fuoco ed ottieni

Dall'ultima equazioni ricavi   a  e  , sostituendo , le altre incognite:

L'equazione della parabola risulta :

4. Determina adesso l'equazione della parabola di vertice V(-1;2) e fuoco F(-1;7/4) adoperando il primo metodo

La traslazione che porta il vertice nell'origine ha componenti:  v_x= 1 -1    v_y= 2 -2  . Il fuoco dopo tale traslazione viene ad  avere coordinate  F (0;-1/4) (-2;15/4) (0;1/4) (2:-15/4)  ;  poichè a=1/4p  ne deduci che a= -1 1 -15 15  
L'equazione della parabola risulta  y= 1 -1 15 -15  x² +2 -2 +30 -30  x +1 +28 -32 -3  

Determinare l'equazione della parabola passante per 3 punti

ESEMPIO: Scrivere l'equazione della parabola passante per A(1;0)   B(-1;6)   C(2;3)

Si sostituiscono le coordinate dei punti nella generica equazione della parabola y=ax²+bx+c
Si ottiene il sistema

Si risolve tale sistema e si ottiene così l'equazione della parabola:


L'equazione sarà: 

5. Determina adesso l'equazione della parabola passante per A(0;3)   B(1;6)  C(-1;-2)
Sostituendo le coordinate del punto A  ottieni : 
Sostituendo le coordinate del punto B  ottieni :  
Sostituendo le coordinate del punto C  ottieni :  
Sostituendo il valore di c determinato dalla prima equazione  nella seconda equazione ottieni  a+b= e sostituendo c nella terza equazione ottieni a-b= ; Risolvendo trovi a= b= 
L'equazione della parabola è:y= +1 -1 +4 -5  x² +1 +4 -1 -4  x +3 -3 +5 -5  

Risolvi adesso autonomamente  alcuni esercizi

6. Scrivere l'equazione della parabola avente vertice V(1;-1) e passante per il punto A(-2;17)

   
   
   
   

7. Scrivi l'equazione della parabola passante per A(0;0)  B(1;2)  C(2;2)

   
   
   
   

Analizziamo adesso il problema di determinare le equazioni delle rette tangenti ad una parabola condotte da un punto P esterno o appartenente ad essa
Il procedimento è il seguente:
- scrivere l'equazione del fascio di rette passante per P
- Scrivere il sistema costituito dal fascio di rette precedentemente trovato e dalla equazione della parabola
- Nell'equazione di secondo grado risolvente il sistema porre la condizione D=0
- Determinati così i valori di m ( se P è esterno) o il valore di m (se P appartiene alla parabola) si sotituiscono nel fascio e si trovano così le equazioni delle rette tangenti richieste

ESEMPIO:
Data la parabola y=-x²+6x-5  determinare le rette tangenti ad essa condotte dal punto A(2;7)

- fascio di rette per A  y-7=m(x-2)   cioè  y=mx-2m+7
- Si imposta il sistema

- risolvendo si ottiene l'equazione di secondo grado

Sostituendo nel fascio ottieni     t₁:   y=6x-5     t₂:  y=-2x+11

8. Scrivere le equazioni delle rette tangenti alla parabola y=x²-1  condotte dal punto A(3;-1)
Il fascio di rette passanti per A ha equazione:y=  
impostando il sistema con la parabola si ottiene l'equazione risolvente di secondo grado:
+1 -1  x² -m +3m -2m  x +3m-2 -3m+2 -3m +3m  =0
Ponendo D=0  ottieni +1 -5 +9 -9  m² +12 -12  m=0
Da cui ricavi  m=0 e m= 
le equazioni delle rette tangenti sono pertanto y= e y= 

Se la retta tangente non è condotta da un punto ma è parallela ( perpendicolare ) ad una retta data il fascio di rette dovrà essere scritto y=mx+q e poi si eseguono le stesse operazioni precedentemente spiegate

9. Scrivere l'equazione della retta tangente alla parabola y=-x²+4x  parallela alla retta  r di equazione 4x-2y-1=0

La retta  r  ha coefficiente angolare m= 4 -4 2 -2    pertanto il fascio di rette parallele ha equazione y= x+q
Si imposta il sistema tra il fascio di rette e la parabola e si trova l'equazione risolvente di secondo grado
-x² +1 +2 -1 -2  x +q -2q -q +2q  =0. Ponendo D=0  ottieni  4 q=0  da cui q= 
La retta tangente ha equazione y= 

10. Stabilisci  se le seguenti affermazioni sono vere o false

	V	F
			L'equazione  y= ax2+c   rappresenta una parabola di vertice V(0;c)
			La parabola y=-4x2+4x+3 passa per l'origine degli assi
			L'equazione x=ay2+by+c rappresenta una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x
			La retta y= mx+2  è tangente alla parabola y=x2  se m=-2

Conoscendo il grafico della parabola , lo possiamo sfruttare per disegnare il grafico di particolari funzioni irrazionali

ESEMPIO:  Disegnare il grafico della funzione

Si isola la radice quadrata:

Si pongono le C.E

Si eleva al quadrato

Si disegna la parabola
V(1;2)    intersezione con l'asse x (5;0)   asse di simmetria y=2

Tenendo conto delle condizioni di esiste il grafico della funzione è quello colorato di rosso

11. Individua il grafico corrispondente alla curva


   
   
   
   

12. Assegnato il fascio di parabole di equazione   y=ax²+(a-1)x-1  

Per quale valore di a  essa rappresenta una parabola con asse di simmetria  x=-1?

    1
    -1
    2
    -2

Un altro esercizio tipico è quello che consiste nel determinare una retta parallela all'asse delle x in modo che la corda misuri n.

ESEMPIO:
Data la parabola y=x² -8x+5 determina la retta parallela all'asse x in  modo che la corda intercettata  dalla parabola sulla retta  abbia misura uguale a 4.

Si prende un generico punto P sulla parabola di coordinate P(a; a²-8a+5) e si costruisce il suo  simmetrico  rispetto all'asse di simmetria   di equazione x=4.    P'(8-a; a²-8a+5) a<4
La corda PP'=8-a-a=8-2a
La poniamo  uguale a 4  e si otiiene :
8-2a=4   cioè  a=2
P(2; -7)    P'(6;-7)   pertanto la retta richiesta PP' ha equazione y=-7

13. Data la parabola y=x² -6x determina la retta parallela all'asse x in  modo che la corda intercettata  dalla parabola sulla retta  abbia misura uguale a 8.
Il generico punto P della parabola ha coordinate  P(a; a² a²-6a a²+6a  )   L'asse di simmetria della parabola ha equazione x= 6 -3 3  
Pertanto il punto P' ha coordinate P' (6-a;a²-6a) (-6-a;a²-6a) (12-a;a²-6a)  .  
La corda PP'= -6-2a 12-a 6-2a  Ponendo tale corda uguale a 8  ottieni 2 -7 -1  
I punti  hanno coordinate P (-1;7) (2;-8) (-2;16)    P' (7;7) (4;-8) (8;16)   , pertanto la retta PP' ha equazione y= -8 7 16  

Risolvi adesso in modo autonomo  due  esercizi sulle  corde e sulle tangenti

14. Trova l'equazione della retta tangente alla parabola di equazione y=x²-2x-8   e perpendicolare alla retta x+8y+4=0

    y=-1/8x+1
    y=8x-33
    y=-8x+12
    y=1/8x-1

15. Data la parabola di equazione

determina una retta parallela all'asse x in modo che la corda intercettata dalla parabola sulla retta misuri


    y=1
    y=2
    y=-2
    y=4

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