Abbiamo già analizzato  le operazioni con le matrici  2x2  adesso dobbiamo estendere le operazioni a matrici  nxm
In particolare analizziamo il calcolo del determinante di una matrice quadrata nxn.

I° CASO n=3.
Si applica la regola di Sarrus: si costruisce una tabella riportando le prime due colonne alla destra della matrice ed il determinante di A= somma dei prodotti relativi alle diagonali discendenti - somma dei prodotti relativi alle diagonali ascendenti
Cioè:

Si costruisce la tabella nel modo indicato dalla teoria:


det(A)=15-(-4)=19

1. Calcola il determinante della matrice


    4
    -4
    3
    -3

Passiamo adesso ad enunciare un teorema che permette di calcolare il determinante di una qualsiasi matrice quadrata:
TEOREMA DI LAPLACE: Il determinante di una matrice quadrata di ordine n è uguale  alla somma del prodotto  degli elementi di una linea per i rispettivi complementi algebrici
 In particolare si chiama complemento algebrico di un elemento       il prodotto (-1)^i+k per il determinante della matrice che si ottiene sopprimendo la riga i_esima e la colonna k_esima 

ESEMPIO:  Calcolare il determinante della matrice

Scelgo la terza riga :

2. Calcolando  con il teorema di Laplace il determinante  della matrice

ottieni:

   
   
   
   

Il determinante può dare luogo a calcoli abbastanza lunghi è opportuno  quindi conoscere alcune proprietà del determinante che potrebbero rendere il calcolo più semplice
1.  Se tutti gli elementi di una linea sono nulli il determinante è zero
2.  Se due righe o due colonne hanno elementi uguali o proporzionali il determinante è zero
3.  Se si moltiplica tutta una linea per un numero anche il determinante viene moltiplicato per quel numero
4.  Se si scambiano due righe o due colonne il determinante cambia di segno
5.  Se una riga o una colonna è combinazione lineare delle altre il determinante è zero
6.  Se si sommano due righe (o due colonne) il determinante non cambia

3. Individua quale tra le segu8enti matrici ha determinante diverso da zero

   
   
   
   

Assegnata una matrice A si definisce rango e si indica r(A) il massimo ordine dei minori ( cioè determinanti di una sottomatrice) non nulli che si possono estrarre da A
Esempio: determinare il rango della matrice

Calcoliamo i minori di ordine 3 se almeno uno è diverso da zero  potremo dedurre che r(A)=3  altrimenti andremo a calcolare i minori di ordine 2 , se almeno uno è diverso da zero potremo dedurre che r(A)=2  altrimenti se almeno un elemento è diverso da zer r(A)=1
I minori di ordine 3 sono:


poichè tutti i minori di ordine 3 sono zero si analizzano i minori di ordine 2

Il minore ha determinante diverso  da zero pertanto r(A)=2

4. Associa ad ogni matrice il relativo rango





    0 1 2 3 A
    0 1 2 3 B
    0 1 2 3 C
    0 1 2 3 D

5. Stabilire al variare di a il rango della matrice

DET(A)=    SE  a=4 a=-4 a=16  r(A)= altrimenti r(A)= 

Passiamo adesso a calcolare l'inversa di una matrice quadrata A nxn.
Ricordati che la matrice inversa si può calcolare solo se det(A)‡0
Si procede in questo modo :
1)  Si forma una matrice che ha per elementi i complementi algebrici    A_ij
2)  Si calcola la trasposta della matrice precedente
3)  Si divide ogni elemento per il determinante di A

ESEMPIO: 
Calcolare l'inversa della matrice

Si calcola per prima cosa il determinante:   det(A)=12
Si cacolano i complementi algebrici:



Si crea la matrice dei complementi ,poi la sua trasposta

dividendo per det(A) si ottiene la matrice inversa

6. Calcola l'inversa della matrice

Cominciamo calcolando il determinante di A ed i complementi algebrici

det(A)=     = = = = 
= = =  = 

7. Cliccando sul pulsante hai la matrice dei complementi algebrici  ed il det(A).
La matrice inversa sarà dunque:

   
   
   
   

Risolvi adesso alcuni esercizi su quanto trattato in questo modulo

8. Sia A una matrice 3x3  ;  se  det(A)=2 allora  det(3A)  varrà

    6
    8
    54
    non si può stabilire se non si conosce la matrice A

9. Considera le matrici

allora

    det(A)=det(B)
    det(A)=2det(B)
    det(A)=-det(B)
    non esiste legame tra det(A) e det(B)

10. Il  determinante della matrice

vale

    6
    -6
    2
    0

11. Individua quale tra le seguenti matrici ammette inversa

   
   
   
   

12. Sia
 
allora  det(A)= k-4 4-k 4k -4k  , se  k= 0 4  allora  r(A)= 2 3   altrimenti r(A)= 2 3  

13. Determina l'inversa della matrice


   
   
   
   

Grazie per avere risposto alle domande. Premi il pulsante Invia per inviare le tue risposte.