Si  definisce iperbole il luogo geometrico dei punti del piano per i quali  è costante la differenza delle distanze da due punti F₁  e F₂  chiamati fuochi


Si distinguono due casi
A)  Fuochi appartenenti all'asse  x

EQUAZIONE IPERBOLE

B)  Fuochi appartenenti  all'asse  y

EQUAZIONE IPERBOLE

1. Stabilisci se le seguenti iperboli  hanno fuochi sull'asse x oppure sull'asse y

    asse x asse y
    asse x asse y
    asse x asse y
    asse x asse y

Proprietà dell'iperbole:
1)    Simmetrica rispetto agli assi cartesiani
2)    Asintoti :
      
3)    c²-a²=b²
4)   Asse trasverso: l'asse cui appartengono i fuochi
5)   Vertici  A₁(-a;0) e A₂(a;0)  se i fuochi apprtengono all'asse x
      Vertici  B₁(0;-b)  e  B₂(0;b)   se i fuochi apprtengono all'asse y
6)   eccentricità
    

 

2. Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali false relativamente all'iperbole

	V	F
			Asintoti  di equazione
			Asse trasverso: asse y
			Vertici  A(-5;0)  B(5;0)
			Eccentricità:

3. L'equazione dell'iperbole il cui grafico è il seguente



è:

   
   
   
   

Scrivere l'equazione dell'iperbole  sapendo che ha i fuochi sull'asse y  , passa per il punto P(2;3)  ed eccentricità  e=2
Soluzione :
Poichè i fuochi appartengono all'asse y l'equazione dell'iperbole risulta:

Poichè  l'eccentricità vale 2  c/b=2  cioè

Sostituisco nella prima relazione ed ottengo :

L'equazione dell'iperbole diventa :

4. Qual è l'equazione dell'iperbole  con fuochi sull'asse x, passante per il punto P(5;1)  ed avente eccentricità


   
   
   
   

Come abbiamo già fatto  per le altre coniche , determiniamo l'equazione dell'iperbole che verifica alcune condizioni
IPERBOLE PASSANTE PER  DUE PUNTI :
Determinare l'equazione dell'iperbole con asse trasverso l'asse x e passante per i punti

 Si sostituiscono le coordinate dei punti nell'equazione dell'iperbole , che nel nostro caso essendo l'asse trasverso l'asse x , è:

si risolve il sistema e si trovano  a² e b²

L'equazione dell'iperbole sarà:

5. Scrivi l'equazione dell'iperbole con fuochi sull'asse y passante per i punti A(1;1)   B( 3;2)
Sostituendo il primo punto nell'equazione dell'iperbole ottieni 
- /a²  +    /b²=1
Sostituendo il secondo  punto nell'equazione dell'iperbole ottieni
- /a²  + /b²   =1
Risolvendo il sistema ottieni  a²  =   b²= 
L'equazione dell'iperbole , dopo aver calcolato il mcm risulta :
-  x²+ y²= 

Per determinare la reciproca posizione di una retta con un'iperbole basta  risolvere il sistema tra le due curve ; se l'equazione risolvente il sistema è di secondo grado ed ha D<0  allora la retta è esterna , se D=0 allora la retta è tangente , se D>0  la retta è secante .
Se il sistema ha un'equazione risolvente di primo grado , la retta è secante in un punto ed in particolare è parallela ad un asintoto
Se il sistema ha un'equazione risolvente di grado zero impossibile  allora la retta è un asintoto.

6. Stabilire la reciproca posizione tra  l'iperbole

e le rette

    esterna tangente secante secante in un punto asintoto x+2*radq(3)*y-2=0
    esterna tangente secante secante in un punto asintoto x-y-1=0
    esterna tangente secante secante in un punto asintoto x-radq(3)*y-1=0
    esterna tangente secante secante in un punto asintoto x-2y+1=0
    esterna tangente secante secante in un punto asintoto x-2y=0

Grazie per avere risposto alle domande. Premi il pulsante Invia per inviare le tue risposte.