Se nell'equazione canonica dell'iperbole si ha a=b, l'iperbole si dice equilatera e la sua equazione è la seguente:
IPERBOLE EQUILATERA CON I FUOCHI SULL'ASSE X

IPERBOLE EQUILATERA CON I FUOCHI SULL'ASSE Y

In generale un'iperbole si dice equilatera se i suoi asintoti sono perpendicolari

Gli asintoti di questo tipo di iperbole sono le bisettrici degli assi y=x  e  y=-x
La semidistanza focale vale 

1. Dire quali fra le seguenti iperboli ha il fuoco in


    x²-y²=-12
    x²-y²=12
    x²-y²=24
    x²-y²=6

2. Quale fra i seguenti grafici è il grafico dell'iperbole d'equazione x²-y²=-4 ?

   
   
   
   

Un'iperbole equilatera si dice riferita agli asintoti quando ha per asintoti gli assi cartesiani.
L'equazione di questo tipo di iperbole è xy=k
Se k>0 l'iperbole ha come asse trasverso la bisettrice del primo e terzo quadrante
Se k<0 l'iperbole ha come asse trasverso la bisettrice del secondo e quarto quadrante

3. Associa ad ogni iperbole i suoi vertici

    xy=4 xy=-4 xy=16 xy=-16 A(4;4) e B(-4;-4)
    xy=4 xy=-4 xy=16 xy=-16 A(4;-4) e B(-4;4)
    xy=4 xy=-4 xy=16 xy=-16 A(2;2) e B(-2;-2)
    xy=4 xy=-4 xy=16 xy=-16 A(-2;2) e B(2;-2)

4. Qual è l'equazione dell'iperbole disegnata?


    xy=3
    xy=6
    xy=-6
    xy=-3

LA FUNZIONE OMOGRAFICA

La funzione di equazione

si chiama funzione omografica ed essa rappresenta:

1) se c=0 una retta d'equazione

2) se ad-bc=0  una retta orizzontale  privata di un punto

3) se c‡0 e ad-bc‡0 un'iperbole equilatera traslata di centro
  
e di asintoti

5. Dire quale tra le seguenti funzioni rappresenta un'iperbole equilatera traslata

   
   
   
   

6. Dire quale tra i seguenti grafici è quello corrispondente alla funzione d'equazione
2xy+x-y+3=0

   
   
   
   

Studiamo ora un fascio di funzioni omografiche al variare di un parametro k:



PRIMO CASO

c=0 

Questo corrisponde a dire k=0, per questo valore l'equazione diventa

che rappresenta l'equazione di una retta

SECONDO CASO

ad-bc=0

(k-1)(-4)-2k=0   cioè   -4k+4-2k=0
che fornisce come soluzione

Per questo valore l'equazione diventa:

Svolgendo i calcoli otteniamo

Questo ci fornisce l'equazione della retta y=-½  con x‡6, cioè la retta è privata del punto di coordinate P(6;-½)

TERZO CASO

Se k è diverso dai valori trovati precedentemente, cioè per

abbiamo iperboli equilatere traslate.

7. Dire per quali valori di a il seguente fascio di funzioni omografiche non rappresenta un'iperbole equilatera traslata


    a=0 e a=-2
    a=0 e a=2
    a=-1 e a=2
    a=-1 e a=-2

Riprendiamo l'esempio precedente:
Abbiamo visto che il fascio di funzioni omografiche di equazione:

rappresentava per

un fascio di iperboli equilatere .
A questo punto dobbiamo trovare :

1) I punti base del fascio
2) Il luogo dei centri

PRIMO CASO

RICERCA DEI PUNTI BASE

Svolgiamo i calcoli  e scriviamo l'equazione in forma implicita:

(kx-4)y=(k-1)x+2   cioè   kxy-4y-kx+x-2=0
che possiamo scrivere in questo modo
k(xy-x)-4y+x-2=0
Per determinare i punti base a questo punto basta risolvere il sistema

La prima equazione ci fornisce le soluzioni x=0 e y=1, che sostituite nella seconda equazione ci permettono di determinare le coordinate dei punti base


SECONDO CASO

RICERCA DEL LUOGO DEI CENTRI

Per prima cosa dobbiamo trovare le coordinate del centro delle iperboli

che nel nostro caso diventa

Risolviamo ora il sistema:

Svolgiamo i calcoli ed otteniamo


Il luogo richiesto è pertanto la retta d'equazione y=1-¼x privata del punto (0;1)

8. Assegnato il fascio di funzioni

che rappresenta per k‡0 e per k‡-½ un fascio di iperboli equilatere, determina il luogo dei centri.
Per rispondere segui il seguente ragionamento:
"Il centro di simmetria ha equazione O'( ; ).Risolvendo il sistema che si ottiene ponendo  =  e  = , otteniamo l'equazione del luogo che è x-2y=0 2x-y=0 x+2y=0 2x+y=0  "

9. Per quale valore di kÎR l'equazione
(k²-4k)x²+(6-k)y²=1
rappresenta un'iperbole equilatera con i fuochi sull'asse x?

    k=2 v k=3
    k<6
    k=0
   
    Nessun valore di k

10. Qual è l'equazione dell'iperbole equilatera riferita agli asintoti con semiasse trasverso di misura 4 e k>0? 
I suoi fuochi hanno coordinate F(+ ;+  )

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