Si chiama sistema di disequazioni in un'incognita, l'insieme di due o più disequazioni che devono essere verificate dagli stessi valori dell'incognita.
In base alle disequazioni che compongono il sistema questo può essere classificato come:
numerico: se in esso compaiono solo disequazioni numeriche
letterale: se in esso compare almeno una disequazione letterale
frazionario: se in esso compare almeno una disequazione fratta
intero: se in esso compaiono solo disequazioni intere

Risolvere un sistema di disequazioni significa determinare le soluzioni comuni a tutte le disequazioni. In particolare se indichiamo con S₁, S₂....S_n le soluzioni rispettivamente della prima, della seconda ..... e dell'ennesima disequazione la soluzione del sistema sarà

Se le soluzioni sono incompatibili, cioè se non ci sono soluzioni comuni allora

Il sistema in questo caso si dirà impossibile.

1. Un sistema si dice impossibile se:

    Tutte le disequazioni sono impossibili
    Necessariamente una disequazione è impossibile
    Non ci sono soluzioni comuni
    Se due disequazioni hanno la stessa soluzione.

Per identificare la soluzione di un sistema di disequazioni, occorre costruire una tabella che chiameremo SCHEMA DELLE SOLUZIONI. Su un asse reale si riportano in ordine crescente tutti gli estremi dei vari insiemi risolutivi

Su questa tabella rappresenteremo con un tratto continuo gli insiemi risolutivi su diversi livelli, segnando con un pallino gli estremi se essi sono soluzione.
La soluzione S sarà quella in cui avremo tutti i tratti continui.

2. Completa la seguente affermazione
"  Per risolvere un sistema dobbiamo risolvere una ogni qualcuna  disequazione, rappresentare la soluzione con un tratto continuo tratteggiato con i segni + o -  nello tabella schema griglia  delle soluzioni, e trovare l'eventuale disequazione soluzione unione comune ."

Facciamo un esempio di risoluzione di un sistema di disequazioni:

Dobbiamo risolvere la prima disequazione:

Dopo risolviamo la seconda disequazione:

Ora dobbiamo costruire lo schema delle soluzioni:

Otteniamo la soluzione ( dove abbiamo due tratti continui ) che è la seguente
 

3. Dato il seguente schema delle soluzioni, indica la soluzione del sistema:


    S: -1<x<2 V x>3
    S: x<-1  v   2<x<3
    x<-1  v   2<x<3
    S: x<3

Se le disequazioni che compongono il sistema sono di grado superiore al primo, non cambia il procedimento finale, ma cambierà il metodo di risoluzione delle singole disequazioni.
Se avremo disequazioni di secondo grado sfrutteremo il grafico della parabola associata, se invece il grado sarà superiore al secondo dovremo scomporre in fattori primi fino ad ottenere fattori di primo e secondo grado, in modo da studiare alla fine il segno complessivo.
Facciamo un esempio:

Troviamo la soluzione della prima disequazione:
Risolviamo l'equazione associata:

questa ci fornirà le intersezioni della parabola con l'asse x. Troviamo

cioè x=10 e x=5. Tracciamo il grafico della parabola che intersecherà l'asse x in x=10 e x=5 e che avrà la concavità rivolta verso l'alto in quanto il coefficiente della x² è positivo.

Pertanto prendiamo come soluzione i valori compresi  5<x<10.
Per la seconda disequazione le soluzioni dell'equazione associata sono x=1 e x=-1, la parabola però avrà la concavità rivolta verso il basso in quanto il coefficiente del termine di secondo grado è negativo.

Pertanto prendiamo valori esterni, cioè x<-1 v x>1
La soluzione del sistema sarà pertanto :

S: 5<x<10

4. Risolvi il seguente sistema di disequazioni:

Scrivi prima la soluzione S₁, poi la soluzione S₂ ed alla fine la soluzione S
La tua risposta dovrà essere scritta nella forma: (S1: .....,S2:....,S:....), stai attento a non lasciare spazi se non nel caso in cui scrivi valori esterni che scriverai nella forma x<1 v x>6.

   

5. Qual è il sistema di disequazioni che permette di risolvere il seguente problema ?
" Determina per quale valore di k il punto P(2k-k²;3k-1) appartiene al secondo quadrante "

   
   
   
   

Risolviamo ora un sistema frazionario:

Per risolvere la prima disequazione dovremo analizzare il segno del numeratore e del denominatore:
N>0   x<1 v x>4
D>0   x<-3  v  x>3

Quindi la prima disequazione è risolta per  per -3<x<1 v 3<x<4
Ora analizziamo la seconda disequazione

N>0   -10x-11>0             per  x<-11/10
D>0   x-5>0                    per x>5

Quindi la seconda disequazione è risolta  per  -11/10<x<5

Risolviamo ora il sistema di disequazioni:


La soluzione sarà pertanto  -11/10<x<1   v  3<x<4

6. Risolvi il seguente sistema di disequazioni:

Il numeratore è positivo per x<-1 v x>0 -1 x>1  , il denominatore è positivo per x<-2 x<2 x>-2  , quindi la prima disequazione è risolta per x<-2 v -1 -20 x>0 v x<-1  . La seconda disequazione è risolta per -3 x<-3 v x>1 1  e quindi il sistema ammette come soluzione x<-3 x>0 -3  

In un sistema di disequazioni possono comparire anche disequazioni di grado superiore al secondo.
Facciamo un esempio:

Risolviamo la prima disequazione: essendo di grado superiore al secondo dobbiamo scomporla in fattori di primo o secondo grado:

x-2>0 per x>2
x²-1>0 per x<-1 v x>1

Pertanto la prima disequazione è risolta per x<-1 v 1<x<2
Risolviamo ora la seconda disequazione
3-2x>0     cioè   x<3/2
A questo punto risolviamo il sistema:

La soluzione finale è : x<-1 v 1<x<3/2

7. Risolvi il seguente sistema di disequazioni:

"la prima disequazione si può scomporre in (x+2)(x²+9) (x-2)(x²-9) (x+2)(x²-9)  il primo fattore è positivo per x>2 x>-2 x<-2  ,il secondo fattore è positivo per x<-3 v x>3 -3 x>3  ,quindi la prima disequazione è risolta per -33 x<-3 v -2 x<-3 v x>-2  ; la seconda disequazione è risolta per x<0 v x>1 x<-1 v x>0 0  ;pertanto il sistema è risolto per 0 mai per ogni x appartenente a R  "

8. Identifica il sistema di disequazioni che ammette il seguente schema risolutivo


   
   
   
   

9. Trova il campo d'esistenza della seguente funzione:

Per risolvere l'esercizio segui il seguente schema:
" Il campo d'esistenza del primo radicale è 3x²-5x+2<=0 3x²-5x+2>=0 3x²-5x+2<0 3x²-5x+2>0  , il cui insieme risolutivo è 2/3 x<2/3 v x>1 x<=2/3 v x>=1 2/3<=x<=1  . Il campo d'esistenza del secondo radicale è 4-x<0 4-x>0 4-x<=0 4-x>=0  , il cui insieme risolutivo è x<=4 x>4 x<4 x>=4  .Dato che le due soluzioni devono essere verificate contemporaneamente,risolviamo il Segno finale sistema   ed otteniamo come soluzione finale 2/3<=x<=1 v x>=4 x<=2/3 v 1<=x<=4 2/3<=x<=4  "

10. Scrivi il sistema di disequazioni che risolve il seguente quesito:
"determina per quali valori di k l'equazione:

ammette soluzioni reali non coincidenti e discordi di segno "

   
   
   
   

11. Risolvi il seguente sistema:

" La prima disequazione è fratta  pertanto, dopo aver fatto il minimo comune multiplo, si determina il segno del numeratore e del denominatore che risulta: N>0 per x<2 v x>1 nessun valore di x tutti i valori di x   e D>0 per x<2 x>2 x>0  .Da cui si deduce la soluzione della prima disequazione che è x<1 v x>2 x<2 x>2  Si procede analogamente per la seconda disequazione e si ottiene N>0 per x<-3 v x>0 -3 0   e D>0 per x<-1 x<1 x>-1  , da cui la soluzione della seconda disequazione è -30 x<-3 v -1 -3  . Trovando l'intersezione delle due soluzioni determiniamo la soluzione del sistema che è  -3<x<-1 v 0<x<2"

12. Risolvi il seguente sistema:

Per risolvere l'esercizio segui il seguente ragionamento:
" La prima disequazione è una disequazione di grado superiore al secondo e quindi va scomposta in fattori primi e si ottiene x(x²-3x+2) x²(x-3+2) (x-1)(x-2)(x+1)  , il primo termine è positivo per x<0 x>0 sempre  , il secondo termine è positivo per x<1 v x>2 1 x<-2 v x>-1  , da cui la soluzione della prima disequazione è 02 -12 x<0 v 1  . La seconda disequazione è risolta per x<3 x>3 x>-3  , pertanto la soluzione del sistema è x<0 v x>3 x<0 v 1 0  "

Ora ti verranno proposti una serie di esercizi, ma senza aiuti e suggerimenti.
Dovrai svolgerli con carta e penna e scrivere la soluzione finale al computer.
La scrittura della soluzione del sistema di disequazioni dovrà essere di questo tipo:
a<x<b, oppure a<=x<=b nel caso in cui gli estremi siano inclusi. Per scrivere invece soluzioni esterne dovrai usare una notazione del tipo x<a v x>b  e così via per i vari tipi di soluzioni.
Nel caso in cui non vi siano soluzioni scrivi impossibile, se ci sono invece infinite soluzioni scrivi per ogni valore.

13. Risolvi il seguente sistema di disequazioni:


   

14. Risolvi il seguente sistema di disequazioni:


   

15. Risolvi il seguente sistema:


   

16. Risolvi il seguente sistema di disequazioni


   

17. Risolvi il seguente sistema di disequazioni:


   

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