Una disequazione si dice irrazionale quando in essa l'incognita compare sotto il segno di radice.

1. Dire quale delle seguenti disequazioni  è irrazionale:

   
   
   
   

Premettiamo che ci occuperemo solamente delle disequazioni irrazionali in cui compare un solo segno di radice e che sono poi quelle più frequenti.
PRIMO CASO

oppure

con n dispari.
Per risolvere questo tipo di disequazione , basterà elevare alla n entrambe le espressioni, in quanto essendo l'esponente dispari otterremo una disequazione dello stesso verso di quella di partenza.
Esempio:

elevando tutto al cubo otteniamo la disequazione x-2>1 che avrà come soluzione x>3.

2. La seguente disequazione:

ammette come insieme risolutivo:

    x<7
    x>7
    x>1
    x<1

Analizziamo ora come si deve procedere per risolvere una disequazione irrazionale con indice pari.
Dovremo trattare due casi.
PRIMO CASO:

Le condizioni da analizzare saranno le seguenti:

1. condizione di esistenza della radice quadrata che si traduce nella condizione A(x)>0
2. la disequazione avrà significato solo se B(x)>0
3. grazie alle condizioni 1 e 2, i due membri sono positivi e quindi elevandoli al quadrato otterremo ancora una disequazione dello stesso verso e cioè A(x)<[B(x)]²

3. Quale disequazione irrazionale è equivalente al seguente sistema di disequazioni?


   
   
   
   

Risolviamo ora una disequazione irrazionale del tipo trattato precedentemente.

Il sistema che dobbiamo impostare è il seguente:

Troviamo :
S1: x>-1
S2: x>1
S3: svolgendo i calcoli otteniamo la disequazione x+1<x²-2x+1 e cioè -x²+3x<0 che è risolta per x<0 v x>3
Determiniamo a questo punto la soluzione


che è S: x>3

4. Risolvi la seguente disequazione:

Per risolvere la disequazione segui il seguente ragionamento:
"A(x)>0 per x<-3 v x>3 -3 x<=-3 v x>=3 x>3  , B(x)>0 per x<=-1 x>=-1 x>-1 x<-1  , A(x)<[B(x)]² per x<-5 x<=-5 x>-5 x>=-5  , la disequazione irrazionale è quindi risolta per x>3 x<-3 x>=3 x<=-3  "

L'ultimo tipo di disequazione irrazionale che andremo a considerare sarà la seguente:

Esisteranno due tipi di possibilità: la prima è che risulti B(x)<0 , la seconda è che B(x)>0
PRIMO CASO
B(x)<0 :  In questo caso il sistema da impostare è il seguente :

e questo perchè, grazie alla condizione A(x)>0, il primo termine della disequazione non solo esiste, ma è anche non negativo e quindi risulterà sempre maggiore di un termine che abbiamo supposto negativo.
SECONDO CASO:
B(x)>0 : In questo caso il sistema da impostare è il seguente:

In realtà la prima disequazione è implicata nella terza e pertanto può essere eliminata.
IN CONCLUSIONE: la soluzione di questo tipo di disequazione irrazionale è il seguente:

5. Scrivi lo schema risolutivo della seguente disequazione irrazionale:


   
   
   
   

6. Risolvi la seguente disequazione irrazionale:

Segui il seguente ragionamento:
Per risolvere la seguente disequazione dobbiamo fare l'unione delle soluzioni di due sistemi di disequazioni. La prima disequazione del primo sistema è risolta per x<=-1/2 v x>=1 -1/2 <=x<=1 x<-1/2 v x>1  , la seconda disequazione è risolta per x>1 x>=1 x<1  , il primo sistema ammette allora come soluzione S1: x<1 x<-1/2 x<=-1/2  . La prima disequazione del secondo sistema ammette come soluzione x>1 x>=1 x<1  , la seconda disequazione è risolta per x<-2 v x>1 -2<=x<=1 x<=-2 v x>=1  , pertanto il secondo sistema avrà come soluzione S2: x>-2 x>=1 -2  . Facendo ora l'unione tra S1 e S2 otteniamo la soluzione S che è:
 

Passiamo ora alla risoluzione di una disequazione irrazionale fratta.

La prima cosa che devi fare in questo tipo di disequazioni è andare a determinare il dominio della disequazione, cioè andare a imporre l'esistenza del radicale.
Nel nostro caso -x²-4x>0    DOMINIO: -4<x<0
Il dominio ci servirà di nuovo al momento nel quale faremo lo schema finale della disequazione
Ora passiamo a risolvere la disequazione fratta:
N>0   x+3>0    cioè   x>-3
D>0  
Questa disequazione irrrazionale si può scrivere :  che sappiamo si risolve in questo modo:

Il primo sistema ammette le soluzioni S1: -4<x<0 e S2:x>2 da cui S:impossibile
Il secondo sistema ammette le soluzioni S1:x<2 e S2:impossibile  da cui anche S:impossibile
L'unione delle soluzioni dei due sistemi quindi ci dà S: impossibile, questo ci permette di dedurre che il denominatore non sarà mai positivo, cioè sara sempre negativo.
Ora dobbiamo fare lo schema finale delle soluzioni, facendo attenzione al dominio ( la zona che non appartiene al dominio è stata colorata ).

La soluzione finale sarà pertanto -4<x<-3

7. Risolvi la seguente disequazione :

Per risolvere la disequazione segui il seguente ragionamento:
"Il dominio della disequazione è x<1 v x>3 1 x<=1 v x>=3 1<= x <=3  , il numeratore è positivo per -1/83 -1/8<=x<=1 v x>=3 x<-1/8 v 1 x<=-1/8 v 1<=x<=3  ,il denominatore, dopo che è stato scomposto in x(x+1)(x-1) x(x+1)² x²(x-1) (x+1)(x-1)  , è positivo per -11 x<-1 v 0 -1<=x<=0 v x>=1 x<=-1 v 0<=x<=1  , la disequazione pertanto è risolta per x<-1 v -1/83 -13 x<-1 v -1/8<=x<=0 v x>=3 x<-1 v -1/8<=x<=3  "

8. Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali  false.

	V	F
			è equivalente a A(x)<9
			è equivalente a
			è equivalente a |x-3|>1
			è impossibile

9. Assegnati gli insiemi


determina .
Per risolvere l'esercizio segui il seguente ragionamento:
" Per trovare C devo risolvere un sistema disequazione fratta  di disequazioni.La soluzione SA è x<5/4 x>5/4 x<=5/4 x>=5/4  , la soluzione SB è x<=-2/3 v x>=2/3 x<-2/3 v x>2/3 -2/3 -2/3<=x<=2/3  , da cui la soluzione finale è x<5/4 2/3 x>=5/4 2/3<=x<=5/4  

10. Data l'equazione:

determina per quali valori del parametro a vale la relazione x₁+x₂>1.
(nello scrivere la soluzione fai attenzione a non lasciare spazi, se devi indicare che la soluzione ad es. è a<5 scrivi a<=5,se una radice è irrazionale, ad es.  scrivi rad(5)).

   

11. Stabilire quali disequazioni sono impossibili:

	V	F

12. Qual è la disequazione irrazionale che ha il seguente schema risolutivo?


   
   
   
   

Ora dovrai metterti alla prova risolvendo una serie di disequazioni irrazionali che ti verranno proposte.
Fai attenzione a come  scriverai le soluzioni finali,infatti non lasciare spazi ed usa la seguente notazione:

• Se vuoi scrivere x<-4 scrivi x<=-4
• se vuoi scrivere  scrivi x<=rad(2)
• se vuoi scrivere -1<x<5  scrivi -1<=x<=5
• se vuoi scrivere   scrivi -2<x<=rad(3)vx>=rad(5)+3
• se la disequazione non ammette soluzioni scrivi impossibile
• se la disequazione ammette come soluzione tutto R, scrivi  R

13. Risolvi la seguente disequazione:


   

14. Risolvi la seguente disequazione irrazionale:


   

15. Risolvi la seguente disequazione irrazionale:


   

16. Risolvi la seguente disequazione irrazionale fratta:


   

17. Risolvi il seguente sistema di disequazioni irrazionali:


   

18. Determina il dominio della seguente funzione:


   

19. Considera la disequazione:

1. Puoi elevare al quadrato senza porre alcuna condizione? SI NO  
2. E' equivalente alla disequazione   ?  SI NO  
3. Puoi elevare al quadrato se x+2<0? SI NO  
4. Se x+2<0 la disequazione non è mai verificata ? SI NO  
5. Ha come soluzione x<3/2 v x>=5 3/2 x<=3/2 v x>5 3/2  

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