Il principio di induzione matematica si basa  sulle proprietà dei numeri naturali N
Esso afferma che una proposizione a valori in n  cioè P(n) è vera se e solo se valgono ambedue le proprietà seguenti:
a) P(0) vera
b) P(n) vera implica P(n+1) vera
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1.  Considera il polinomio

Sostituendo ad x i numeri naturali in successione si ottiene
P(0)=41, P(1)=43, P(2)=47, P(3)=53, P(4)=61, P(5)=71,.....quindi tutti numeri primi.
La conclusione seguente è vera o falsa ?

	V	F
			...allora posso affermare che P(n) darà un numero primo per ogni n ; del resto  anche P(6)=83 primo, P(7)=97 primo, P(8)=113 primo e così via.

2. Dimostriamo per induzione che la somma dei primi n numeri dispari dà come risultato n²
Per prima cosa formalizziamo la proposizione da dimostrare; quale tra le seguenti è quella esatta ?

    P(n): "1+3+5+7+...+(2n-1)=n^2"
    P(n): "1+3+5+7+...+(2n+1)=n^2"
     P(n)="1+3+5+7+...+n=n^2"
     P(n)="1+3+5+7+...+n+1=n^2"

3. Dimostriamo la proprietà analizzata nella domanda precedente cioè
P(n): "1+3+5+7+...+(2n-1)=n^{2"
Quale tra le seguenti è la dimostrazione esatta ?}

    P(n) è vera poiché P(1): 1=1 vera; P(2): 1+3=4 vera; P(3): 1+3+5=9 vera
.......... e così via
    a) P(1): 1=1 vera
b) supponiamo P(k) vera e dinmostriamo la verità di P(k+1).
    Se P(k) vera cioè 1+3+5+......+(2k-1)=k^{2
    possiamo sommare a sinistra e destra dell'uguaglianza il valore (2k+1) e otteniamo
    1+3+5+........(2k-1)+(2k+1)=}k²+(2k+1)
    ^{1+3+5+........(2k-1)+(2k+1)=}k^{2+2k+1=(k+1)^2 risulta vera
    quindi P(k+1) vera
Per il principio di induzione P(n) vera per ogni n maggiore di 0}
    a) P(1): 1=1 vera
b) Supponiamo P(k) vera e dimostriamo la verità di P(K+1)
    Se P(k) vera cioè 1+3+5++........+(2k-1)=k^{2
    Sostuituendo a k il valore k+1 otteniamo la proposizione
    1+3+5+..........2k+1=(}k+1)^{2
    che risulta vera.
Per il principio di induzione P(n) vera per ogni n maggiore di 0}

4. Considera la somma dei quadrati dei primi n naturali cioè:
1²=1
1²+2²=5
1²+2²+3²=15
1²+2²+3²+4²=31
..........................
Quale tra le seguenti è la scrittura corretta?

   
   
   
   

5. Adesso dimostra,usando il il principio di induzione,
la proposizione dell'esercizio precedente cioè P(n):

Scrivi su di un foglio la dimostrazione; poi controlla la soluzione che trovi nel file associato alla domanda.

Anche questa domanda, come la precedente, contiene una dimostrazione da fare.
Confronta  il tuo svolgimento con la soluzione proposta

6. Dimostra che per ogni numero naturale risulta vera la seguente disequazione

Il principio di induzione serve anche per dimostrare proprietà riguardanti la divisivilità come accade negli esercizi seguenti.

7. Dimostrare che   l'espressione
risulta divisibile per 6 per ogni n maggiore o uguale a 1.
La proprietà da dimostrare per induzione è P(n):" è divisibile per 6 per ogni ".
Per prima cosa dimostriamo che P(0) vera P(1) vera _. Infatti accade che 1+11=12 è divisibile per 6 6 è divisibile per 1  
Adesso supponiamo, per ipotesi induttiva che P(k+1) sia vera P(k) sia vera   e dimostriamo che P(k+1) vera P(k) vera  
La dimostrazione di questo ultimo punto prova a svolgerla da solo e poi confronta la tua soluzione con quella allegata.
Solo alla fine clicca sul tasto verifica.

8. Dimostrare che   l'espressione
risulta divisibile per 17 per ogni n
 Anche di questo prova a fare la dimostrazione e poi controlla la tua soluzione con quella proposta.
Solo alla fine seleziona il tasto verifica.

9. Dimostrare che  è divisibile per 8 per ogni n naturale 
Anche di questo prova a fare la dimostrazione e poi controlla la tua soluzione con quella proposta.
Solo alla fine seleziona il tasto verifica

10. Dato che



_{..................
?????}

   
   
   
   

11. Dimostra la formula trovata nela domanda precedente usando il principio di induzione.
La formula trovata era:

Confronta la tua soluzione con quella proposta e solo alla fine seleziona il tasto verifica

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