Logaritmi

Logaritmi

1.
Stabilire quali fra le seguenti espressioni hanno significato:

    S N

Nel prossimo esercizio ti sarà richiesto di calcolare alcuni logaritmi. Ricorda che il risultato che devi trovare è l’esponente da dare alla base per ottenere l’argomento.

Puoi procedere come nel seguente esempio:

Calcolare

Poniamo

In base alla definizione di logaritmo, questo significa che dovrà essere

Riduciamo i due membri dell’uguaglianza a potenze con la stessa base

Basterà a questo punto uguagliare gli esponenti e si otterrà

2.
Associa a ciascuna delle seguenti espressioni il risultato esatto.
(Attenzione nella scrittura il primo valore è la base del logaritmo, mentre l'argiomento è quello tra parentesi)
_{(è possibile associare uno stesso risultato a più espressioni)}

    log2(8)
    log3(1/9)
    log4(sqrt2) sqrt equivale a radice quadrata
    log4(1/2)
    log1/2(4)
    log1/3(27)

Nei prossimi esercizi dovrai ricavare il valore di x, che potrà comparire come risultato di un logaritmo, ma anche come argomento o come base.

Vediamo alcuni esempi:

la x compare come risultato del logaritmo:

devi procedere come nell’esercizio precedente:

la x compare all’argomento del logaritmo:

applica la definizione di logaritmo, la “partenza” dell’esercizio non è diversa da quanto hai fatto prima

fai attenzione al “ruolo” della base e dell’argomento: la definizione ti dice che la base del log, elevata al risultato, è uguale all’argomento. In questo caso si tratta semplicemente di svolgere un calcolo: otterrai x=100

la x compare alla base del logaritmo:

applica la definizione di logaritmo, tieni conto che x è la base, 3 il risultato e 8/27 l’argomento: avrai

da cui

Attenzione, scrivi i risultati seguendo queste indicazioni:

n/m nel caso di frazioni, ad esempio 3/4 , senza lasciare spazi
rad(n) nel caso di radici quadrate, ad esempio rad(3) per , senza lasciare spazi

3. Determina il valore di x:

4. Determina il valore di x:

5. Determina il valore di x:

6. Determina il valore di x.

7. Detrmina il valore di x:

8. Determina il valore di x:

9. Determina il valore di x:

Proprietà dei logaritmi:

Ovvia conseguenza dell’ultima proprietà è che , infatti

10. Trasformare in una somma di logaritmi:

Risolviamo insieme:

Abbiamo il logaritmo di un quoziente, quindi ricordando la relativa proprietà possiamo scrivere:

il primo dei due logaritmi ha all’argomento un prodotto, per cui , applicando la relativa proprietà possiamo scrivere:

Il primo logaritmo ha all’argomento una potenza, applichiamo dunque la proprietà che riguarda questo caso, possiamo scrivere:
      che nel nostro caso è il risultato.

Ricorda, negli esercizi analoghi al precedente:

tutti i fattori che si trovano al numeratore diventano logaritmi preceduti dal segno +
tutti i fattori che si trovano al denominatore diventano logaritmi preceduti dal segno –
tutti gli esponenti “scendono” a moltiplicare.

11. Trasformare in una somma di logaritmi

Il logaritmo, nella cui scrittura si è omessa la base, è da intendersi in base 10

12. Sapendo che quale fra i seguenti è il risultato di ?

    -1,14
    2,86
    2,215
    1,43

Le proprietà dei logaritmi possono essere applicate anche “nell’altro verso”, per “compattare una scrittura con i logaritmi, cioè scrivere come un unico logaritmo una somma di logaritmi.

13. Scrivere come un unico logaritmo

14. Scrivere come un unico logaritmo.

La risposta sarà scrivi solo l’argomento del logaritmo

Cambiamento di base
Perché può essere utile cambiare la base di un logaritmo?
- per applicare le proprietà: ricorda che le uguaglianze
valgono solo se tutti i logaritmi che vi compaiono sono nella stessa base

per calcolare il risultato di un logaritmo con la calcolatrice: avrai notato che sulle calcolatrici esistono solo due tasti concernenti i logaritmi: log ed ln. Log calcola il logaritmo in base 10 di un numero, mentre ln calcola il logaritmo in base e, dove e è un numero irrazionale compreso fra 2 e 3. Per i logaritmi in tutte le altre basi il calcolo è possibile solo effettuando prima un cambiamento di base.

Come si fa a cambiare la base ad un logaritmo?
La formula da applicare è

A prima vista sembra complicata, ma non lo è per niente. Vediamo insieme come ricordarla.

c è la base “vecchia”, quella che deve essere cambiata, b è la base nuova, quella in cui vogliamo trasformare il logaritmo.

Dovendo applicare la formula, traccia per prima cosa la riga di frazione

Poi “prepara” i logaritmi sopra e sotto

Infine scrivi l’argomento e la base del logaritmo “vecchio” come argomenti rispettivamente al numeratore ed al denominatore

15. Scegli la risposta esatta
=……

16. Scrivere come un unico logaritmo

Concludiamo il questionario con una serie di affermazioni, alcune delle quali sono vere, mentre altre non lo sono. A te scoprire quali sono vere e quali false.