PROPRIETA' DEI LOGARITMI

Poichè il logaritmo è la funzione inversa dell'esponenziale, ne derivano le
seguenti proprietà:

1) log(ab) = loga + logb     (qualsiasi sia la base)

2) log(a/b) = loga - logb     (qualsiasi sia la base)

1. log6  è uguale a

    log2 . log3
    log2-log3
    log2+log3
    log(2+3)

2. (log5 + log3) è uguale a

    log8
    log15
    log5/3
    log125

3. log5/7  è uguale a

    log5+log7
    (log5)/(log7)
    log5.log7
    log5-log7

4. log3-log2 è uguale a

    log3/2
    (log3)/log2)
    log2/3
    log1

5. log9 è uguale a

    log3.log3
    2log3
    3log2
    9log1

6. 5log2 è uguale a

    log32
    log10
    log25
    log2/5

7.

    3log5
    1/5log3
    log3+log5
    1/3log5

8. 2/3log5 è uguale a

   
   
    2log5-3log5
    (2log5)/(3log5)

9. log9/16 è uguale a

   

10.

   

11. STUDIA IL VALORE DI VERITA':

	V	F
			è uguale a (4loga+2logb-logc+5logd)
			log1=0
			log(10/9)=log2+log5+log9
			3log1=0

Una equazione logaritmica è una equazione in cui l'incognita compare all'argomento di un logaritmo.
Prima di tutto bisogna trovare il campo di esistenza cioè quel sottoinsieme di R in cui è possibile cercare le soluzioni dell.equazione.
Per trovare il campo di esistenza bisogna porre TUTTI GLI ARGOMENTI DEI LOGARITMI IN CUI COMPARE L'INCOGNITA MAGGIORI DI 0
ESEMPIO:  per trovare il campo di esistenza di:  log(1-x)=1-logx bisogna porre

12. Trova il campo di esistenza della seguente equazione:
log(x-9) + logx=log10

    x>0
    x>9
    0<x<9
    x>10

13. Trova il campo di esistenza della seguente equazione:
logx+log(2x-1)-log(2x+5)=log3

    x>0
    x>-5/2
    x>1/2
    x>3

14. Trova il campo di esistenza della seguente equazione:
logx+log2x+log4x=-3

    x>0
    x>2
    x>4
    per ogni x reale

Le seguenti equazioni logaritmiche si risolvono come nel seguente esempio:
Si vuole trovare le soluzioni di 
 log(x-9)+logx=log10  
1)abbiamo già trovato il C.E che è l'insieme delle x reali maggiori di 9 e applicando
i teoremi sui logaritmi si ottiene:
2)log[x(x-9)]= log10  per  cui   x(x-9)=10   quindi x²-9x-10=0  da cui si ricavano

   x1=10   e   x2=-1 che non appartiene al C.E per cui l'unica soluzione è 10.

15.  Considera la seguente equazione logaritmca :
logx+log(2x-1)-log(2x+5)=log3
di cui abbiamo trovato il C.E dato dalle x reali maggiori di 1/2;
applicando i teoremi sui logaritmi si ottiene:

   
   
    x+(2x-1)-(2x+5)=3
   

16. Le soluzioni di:
 
 logx+log(2x-1)-log(2x+5)=log3

sono:

    5
    5, -3/2
    nessuna
    3/2

Se il logaritmo si scrive con la "L" maiuscola significa che la base è 10;
Se si scrive nella forma "lnx" significa che la base è "e"

17. Considera la seguente equazione logaritmca :
Logx+Log2x+Log4x=-3
di cui abbiamo trovato il C.E dato dalle x reali maggiori di 0;
applicando i teoremi sui logaritmi si ottiene:

    Log7x=-3
    Log8x³=-3
    Log8x²=-3
    LOg(8x²+3)=0

Ricorda che

18. Considera la seguente equazione logaritmca :
Logx+Log2x+Log4x=-3
il secondo membro diventa uguale a

   
    llg1000
    Log30
    Log1/30

Per rispondere alla prossima domanda ricorda le risposte date nei precedenti quesiti

19. Considera la seguente equazione logaritmca :
Logx+Log2x+Log4x=-3
la soluzione è

    1/8000
    non esiste
    20
    1/20

Considera ora questo esempio di equazione logaritmica:

C.E: x>0;  si pone  log₂x=t  e si ottiene  t²-10t+16=0
si risolve l'equazione di 2° grado e si trova t=8, t=2  quindi
log₂x=8  da cui x=2⁸  cioè x=256   oppure
log₂x=2  da cui x=2²  cioè x=4
le soluzioni sono 256 e 4
Usa questo metodo per i prosimi quesiti.

20. Trova le soluzioni di


    ₁₀
    1000
    10, 1000
    non esistono

21. Trova le soluzioni di


    0 e 9
    1
    9
    1 e 9

Conoscendo i logaritmi si possono risoivere alcune equazioni esponenziali
per esempio:
5^x=4   si ricava x=log₅4

si passa al logaritmo:

applicando i teoremi si ottiene: 2xlog3 + (4x-1)log5=2log2+log5
x(2log3+4log5)=2(log2+log5) per cui
x=2(log2+log5)/(2log3+4log5)

22. Risolvi:
3^2x=2

    log2/2log3
    1/2
    log3/2log2
    impossibile

23. Risolvi:
5^2x.3^3x+1=2025

    0
    1
    -1
    impossibile

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