Scelti due archi a e b scriviamo le formule che ci permetteranno di determinare le funzioni goniometriche dell'angolo  a + b e  a - b .
FORMULE DI ADDIZIONE:

FORMULE DI SOTTRAZIONE

1. Qual è la formula che ci permette di calcolare il valore di sen(75°)?

    sen75°=sen45°cos30°+sen30°cos45°
    sen75°=cos45°cos30°+sen30°sen45°
    sen75°=sen45°cos30°-sen30°cos45°
    sen75°=cos45°cos30°-sen30°sen45°

2. Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali false:

	V	F
			cos15°=cos45°cos30°-sen45°sen30
			sen15°=sen45°cos30°-sen30°cos45°
			tg75°=(tg45°+tg30°)/(1-tg45°tg30°)
			cos75°=cos45°cos30°-sen45°sen30°

3. In un triangolo due angoli hanno ampiezze a   tale che cosa=12/13 e b   tale che cosb=3/5.
Calcola il coseno  del terzo angolo g.Il triangolo è quindi acutangolo o ottusangolo?
Per rispondere alla domanda segui il seguente ragionamento:
"Dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è 360° 180°  , il terzo angolo ha ampiezza 360-(a+b) 360-(a-b) 180-(a+b) 180-(a-b)  , e quindi applicando le formule di addizione sottrazione  , troviamo che cosg  vale 16/65 -16/65 48/65 -48/65  . Essendo cosg   positivo negativo  possiamo dedurre che il triangolo è acutangolo ottusangolo  "

Le formule di sottrazione ci permettono di determinare anche l'angolo formato tra due rette

Infatti se indichiamo con a l'angolo formato dalla retta con la direzione positiva dell'asse x e con  b l'angolo formato dalla retta s con la direzione positiva dell'asse x, possiamo dire che l'angolo QPR=g     vale a -  b   e quindi, applicando la formula di sottrazione per la tangente ricaviamo :

In quanto il coefficiente angolare di una retta è proprio la tangente dell'angolo che la retta forma con la direzione positiva dell'asse x .
Questa formula permette di calcolare uno dei quattro angoli formati tra due rette incidenti, ricordando però che gli angoli sono a due a due uguali o supplementari in realtà con questa formula troviamo tutti gli angoli .

4. Calcola la tangente degli angoli formati tra le due rette  r: 4x-y+6=0 e s: 5x-y+14=0
Per rispondere esattamente riempi la seguente tabella

mr	4 -4 1/4 -1/4
ms	-1/5 1/5 5 -5
tg a	5 4 -5 -4
tg b	5 4 -5 -4
	9/21 -9/21 1/21 -1/21

Pertanto le due tangenti valgono   tgg= 9/21 -9/21 1/21 -1/21   e tgg'= 9/21 -9/21 1/21 -1/21  

5. Calcola tgb  sapendo che:


   

6. Con riferimento alla figura ( circonferenza goniometrica):

Se i punti P e Q hanno coordinate P(a,b) e Q(c,d), il coseno dell'angolo POQ vale :

    ad-bc
    ac-bd
    ac+bd
    ab+cd

Dalle formule di addizione possiamo facilmente dedurre le formule di duplicazione che permettono di determinare le funzioni goniometriche dell'angolo di ampiezza 2a per mezzo delle formule goniometriche dell'angolo a 
FORMULE DI DUPLICAZIONE


Se sfruttiamo la relazione fondamentale della goniometria sen²a +cos²a =1 possiamo determinare altri due modi per esprimere cos2a e precisamente:

7. Un angolo alla circonferenza di ampiezza a è tale che cosa =4/5.
Determina il coseno dell'angolo al centro corrispondente.

    24/25
    -7/25
    -24/25
    7/25

8. Sviluppa mediante le formule di duplicazione la seguente espressione e semplifica il risultato.


   

9. Sapendo che senx=3/5 e che 0<x<90°, calcola sen2x,tg2x.
Per rispondere al quesito segui il seguente ragionamento:
" Applicando la relazione fondamentale della goniometria determiniamo cosx= 4/5 -4/5 3/4 -3/4  ,sapendo che sen2x= 2senx senx+cosx 2senxcosx 2senx+cosx  otteniamo sen2x= 24/25 7/25 -24/25 -7/25  , conoscendo senx e cosx sappiamo che tgx= 4/3 -4/3 -3/4 3/4   e quindi tg2x= 7/25 7/24 24/7 25/7  "

10. Trova per quali valori del parametro k è possibile che sia :


    -2<k<2
    -1<k<1
    -2<=k<=2
    -1<=k<=1

11. Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali false:

	V	F
			senx=2/5®sen2x=4/5
			cosx=3/5®cos2x=-7/25
			sen4x=4senxcosx
			sen8x=2sen4xcos4x

12. In un triangolo isoscele ABC gli angoli alla base hanno coseno uguale a 2/3. Determinare il coseno dell'angolo al vertice BAC.
(Scrivi solo la soluzione numerica trovata )

   

A partire dalle formule di duplicazione si possono trovare le formule di bisezione che permettono di trovare le funzioni goniometriche dell'angolo a/2 note le funzioni goniometriche dell'angolo a.
FORMULE DI BISEZIONE

13. Semplificare la seguente espressione:

Per rispondere alla domanda segui il seguente ragionamento:
" Applicando le formule di bisezione cos²(x/2) = (1-cosx)/2 (1+cosx)/2  ,sen²(x/2) = (1-cosx)/2 (1+cosx)/2  , da cui cos²(x/2) sen²(x/2) = (1-cosx)²/4 (1+cosx)²/4 (1-cos²x)/2 (1-cos²x)/4  ,facendo quindi il minimo comune multiplo otteniamo il risultato finale che è 1/4 1/2 cos²x/4 -cos²x/4  "

14. Nel triangolo isoscele ABC di base AB si sa che :

Calcola il coseno dell'angolo  BAC.

    3/5     
    4/5
    24/25
    -4/5

15. Calcola quanto vale


   

16. Quali affermazioni sono vere e quali false?

	V	F

Vi sono altre formule in goniometria che permettono di esprimere le funzioni seno, coseno e tangente mediante un unico parametro e per questo vengono chiamate formule parametriche.
FORMULE PARAMETRICHE

17. Sapendo che tgx=3, calcola il valore di sen2x e cos2x

    sen2x=-4/5
cos2x=3/5
    sen2x=-3/5
cos2x=4/5
    sen2x=3/5
cos2x=-4/5
    sen2x=4/5
cos2x=-3/5

Ora ti verranno forniti una serie di esercizi che dovrai risolvere senza suggerimenti e senza aiuti teorici.

18. Assegnata la funzione  y=8senxcosx trova il valore massimo che essa può assumere nell'intervallo [0;2p]

   

19. Nel piano cartesiano sono assegnati i punti A(-2;-5), B(7;1),C(1;1).
Calcola la tangente goniometrica dell'angolo ABC.

   

20. Sia a un angolo acuto.Sapendo che:
        
calcola quanto vale


   

21. Quanto vale la cotangente dell'angolo ottuso formato dalle rette :
r: 2x-y-3=0 e s: x-3y+1=0 ?

   

22. Esprimere in funzione dell'angolo x la seguente espressione e semplifica il risultato ottenuto.

Qual è la soluzione ?

   

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