Si dice luogo geometrico l'insieme di tutti e soli gli oggetti della geometria  che godono di una certa proprietà

1. L'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano  equidistanti  dagli  del  

Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano aventi uguali distanza da un punto fisso assegnato O
detto centro. La distanza costante è detta raggio.
Cerchio è la parte  del piano formata dai punti di una circonferenza e dai suoi punti interni.
Ripetiamo alcune semplici definizioni:
Corda : segmento che unisce due punti distinti appartenenti alla circonferenza
Diametro: corda passante per il centro O
Arco: sottoinsieme della circonferenza delimitato  da due suoi punti distinti A , B.Se la corda AB è un diametro l'arco è chiamato semicirconferenza

2. Con riferimento alla seguente figura indica se le seguenti proposizioni sono vere o false

	V	F
			Il punto O appartiene alla circonferenza
			CB è una corda
			BD è un diametro
			BAD  è un arco

3. Determina il valore di verità delle proposizioni

	V	F
			I punti di una corda rappresentano un sottoinsieme della circonferenza
			In una circonferenza esistono infiniti raggi
			Il diametro è una corda
			Due circonferenze sono congruenti se hanno lo stesso centro

Dalla precedente definizione  si può dire che una circonferenza è univocamente determinata se si conosce il centro ed il raggio oppure il centro ed uno dei suoi punti.
Se i punti assegnati non comprendono il centro della circonferenza cercata , per determinarla univocamente occorrono tre punti distinti non allineati:
Per 3 punti distinti non allineati passa una ed una sola circonferenza

4. Dati nel piano quattro punti A,B,C,D non allineati a tre a tre si può dire  che :

	V	F
			esiste sempre una circonferenza che passa per 3 qualunque di essi
			non può esistere una circonferenza che passa per i quattro punti
			Esiste sempre una circonferenza che passa per A,B,C,D
			esiste sempre una circonferenza di centro C e che passa per A e B

Analizziamo rapidamente alcune proprietà relative a corde e archi:
In una circonferenza un diametro è maggiore di qualsiasi altra corda
La perpendicolare condotta dal centro  ad una corda la divide in due parti congruenti
In una circonferenza corde congruenti sono  equidistanti dal centro ( e viceversa )
In una circonferenza se una corda è maggiore di un'altra , la prima ha minore distanza dal centro della seconda

5. Effettuiamo adesso una dimostrazione del seguente teorema:
In una circonferenza archi congruenti insistono su corde congruenti  e  viceversa  corde congruenti sono sottese ad archi congruenti


1) IPOTESI:             TESI:
Dimostrazione :
Considero i triangoli ABO  e   CDO
perchè  
 perchè insistono su  congruenti per  
i triangoli sono congruenti per il primo secondo terzo  criterio di congruenza  e pertanto

In modo analogo si dimostra il teorema inverso

Data una circonferenza ed una retta ci possiamo chiedere quali sono le situazioni che si possono presentare
Per precisare le soluzioni occorre ricordare il teorema:
Una retta ed una circonferenza hanno al più due punti di intersezione
Possiamo dunque affermare che
a) una retta è esterna alla circonferenza se non ha punti in comuni con essa

b) una retta è secante alla circonferenza se ha due punti distinti in comune con essa

c) una retta è tangente alla circonferenza se ha un punto ( due coincidenti) in comune con essa

6. Evidenziamo una proprietà delle rette tangenti che risulta particolarmente utile :
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono le rette tangenti alla circonferenza stessa, i segmenti di tangenza sono congruenti


Infatti  i triangoli  PAO  PBO hanno
PO  in  
AO=BO  perchè entrambi  
 perchè entrambi  
pertanto per il primo secondo terzo  criterio di congruenza i triangoli sono congruenti ed in particolare PA=PB

In modo analogo si determinano le condizioni sulle reciproche posizioni di due circonferenze
in particolare detti O e O' i centri delle due circonferenze e r r' i rispettivi raggi possiamo affermare che
OO'>r+r'  allora le circonferenze si dicono esterne
OO'=r+r'  allora le circonferenze sono tangenti esternamente
OO'=r-r'  allora le circonferenze si dicono tangenti internamente
r-r'<OO'<r+r'  allora le circonferenze si dicono secanti
O=O'  le circonferenze si dicono concentriche

7. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false

	V	F
			Una retta interseca una circonfernza sempre in due punti
			Se la distanza tra i centri di due circonferenze è congruente alla somma dei raggi allora le circonferenze sono tangenti internamente
			Se sono date due circonferenze  con r<r' allora la prima circonferenza è contenuta nella seconda
			Se r=7cm  r'=3 cm  OO'=9  allora le circonferenze hanno due punti in comune

Angolo al centro è un angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza e come lati due raggi
Angolo alla circonferenza è un angolo che ha il vertice sulla circonferenza ed i lati o entrambi secanti oppure uno secante e uno tangente alla circonferenza

8. Indica quale tra i seguenti angoli non è un angolo alla circonferenza

   
   
   
   

In base alle definizioni di angolo al centro e di angolo alla circonferenza  puoi osservare che , fissato un arco AB, esiste un solo angolo al centro ed infiniti angolo alla circonferenza che insistono su AB

9. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false

	V	F
			Ad ogni angolo alla circonferenza corrisponde un solo angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco
			Ad ogni angolo alla circonferenza corrispondono infiniti angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco
			La corrispondenza tra angoli al centro ed angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco è biunivoca
			Angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti

Fra gli angoli alla circonferenza e gli angoli al centro corrispondenti esiste una importante relazione:
Un angolo al centro è il doppio di ogni angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco

10. una conseguenza del teorema precedentemente ricordato è che

Ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto.

L'angolo in C è dell'angolo in  
L'angolo in O è un angolo pertanto l'angolo in C è  

11. Nella figura A,B,C,D appartengono alla circonferenza e BP è tangente ad essa , stabilire quale affermazione è vera e quale è falsa

	V	F
			Gli angoli  ACB e DCB  insistono sullo stesso arco e sono quindi congruenti
			Gli angoli  PBC  BAC  BDC sono congruenti perchè insistono tutti sull'arco BC
			DB è perpendicolare a BP
			L'angolo PBC è un angolo alla circonferenza che insiste sull'arco BC

12. Su una circonferenza di centro O sono fissati i punti A,B,C, si può dire che:

	V	F
			L'angolo ABC è doppio dell'angolo AOC
			L'angolo AOB è doppio dell'angolo ACB
			L'angolo BAC è la metà dell'angolo BOC
			L'angolo ABC è retto se O appartiene ad AC

Un poligono si dice inscritto in una circonferenza quando i suoi vertici appartengono tutti alla circonferenza
Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se ha tutti i lati tangenti ad essa

Consideriamo un caso particolare: i quadrilateri
Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza , allora gli angoli opposti sono supplementari

13. Determina l'ampiezza degli angoli a,b,c,d, delle seguenti figure



Scrivi il risultato adoperando i gradi
a=       b=   c=   d= 

Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza allora la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.

14. Dimostriamo questo teorema :
Un trapezio isoscele in cui il lato obliquo è congruente alla semisomma delle basi è circoscrivibile ad una circonferenza


Se nella congruenza prima scritta ,ed assegnata per ipotesi , moltiplichi per 2 ambro i membri ottieni

ma   CD BC AD      quindi  
pertanto AB+AD=BC+CD AB+CD=AD+BC AB+BC=AD+DC   cioè la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due  e il trapezio ABCD è inscrivibile circoscrivibile  
ad una circonferenza

15. Come applicazione dei teoremi facciamo qualche considerazione relativa ai quadrilateri particolari

	V	F
			Un parallelogramma è inscrivibile in una circonferenza
			Un rettangolo è sempre inscrittibile in una circonferenza
			Un rombo è sempre circoscrivibile ad una circonferenza
			Un quadrato è sempre inscrivibile e circoscrivibile ad una circonferenza
			U n rettangolo è sempre circoscrivibile ad una circonferenza

16. Se il quadrilatero ABCD è circoscritto ad una circonferenza ed ha perimetro 120 cm ,allora

    AC=60cm
    AB=15 cm
    AB=CD
    AB=CD  e  AD=BC
    BC+AD=60 cm

17. Osserva la figura , quale delle affermazioni è corretta?


   
   
   
   

18. Se  due angoli al centro sono congruenti allora

    Sottendono archi uno doppio dell'altro
    insistono sullo stesso arco
    insistono su archi congruenti
    non si possono trarre conclusioni

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