equazioni

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Si chiama identità una uguaglianza tra due espressioni algebriche che è verificata per qualunque valore delle lettere che in essa compaiono.
Esempio:

Qualunque numero si voglia attribuire alla x,il valore che assume il primo membro (x+1)²è uguale al valore che assume il secondo x²-2x+1. Verifichiamolo in alcuni casi

Per verificare se una uguaglianza è una identità si eseguono le operazioni indicate nelle singole espressioni;se i due risultati sono uguali,è un'identità.

1. Per ciascuna delle seguenti uguaglianze verifica se si tratta di una identità o no.

    V F

    3x-5=2x

    a(a+3)=a²+3a

    (x+1)(x-1)-1=x²

    a(x-1)+x-1=a+1(x-1)

    3(x-1)+x-1=4(x-1)

    2(x-1)²+(x-1)=(x-1)(2x-1)

Si chiama equazione una uguaglianza tra due espressioni letterali che è verificata solo per alcuni valori attribuiti alle variabili che in essa compaiono. Queste variabili si chiamano incognite , mentre si dicono soluzioni i valori che sostituiti alle incognite rendono vera l'uguaglianza.
Esempio:
x-y=2x+y-1 è una equazione nelle due incognite x,y ; la coppia (3,-1) è una soluzione di questa equazione,infatti sostituendo 3 al posto di x e -1 al posto di y l'uguaglianza è verificata : 3-(-1)=2(3)+(-1)-1 4=6-1-1
Quando si esegue questo procedimento si effettua una verifica delle soluzioni.

2. Verifica quale dei seguenti valori è soluzione dell'equazione

    1
    2
    0
    12

3. Associa ad ogni equazione la sua soluzione,scegliendola tra le alternative proposte ,in base alla verifica.

    4a-9=5(a-2)+2(1-a)
    (y-2)(y+2)+4=2y+y2
    x(2x+1)=-3-4x
    2a-a =3a-4

4. Quale tra le seguenti equazioni ammette la soluzione -1 ?

    3(x+1)=0
    3(x+2)=-2x+6
    -x+5=-1-5
    5x-(1-x)=5x

Un'equazione può essere considerata come la traduzione in simboli di un problema.
Esempio:
Trovare due numeri sapendo che la loro differenza è 6 e che uno è 3/5 dell'altro.
Se indichiamo uno dei due numeri con x, l'altro sarà i 3/5 di x ,da cui potremo scrivere l'equazione
x - 3/5 x = 6

5. Considera il problema:
"determinare un numero sapendo che la somma della sua metà con il suo doppio è 100"
Qual è l'equazione che ci permette di risolverlo?

6. Considera il problema
"determina due numeri sapendo che il doppio della loro somma è 18 e che uno è doppio dell'altro"
Quale delle seguenti equazioni permette di risolverlo?

    x+2x=18
    x+2y=36
    2x+4x=18
    x(2x)=18

Risolvere una equazione significa trovare tutte le sua soluzioni. E' pertanto importante precisare qual è l'insieme numerico nel quale vanno ricercate. Si dice che un'equazione ammette soluzioni in un insieme A, se le sue soluzioni appartengono ad A. In questo caso l'insieme delle soluzioni S sarà un sottoinsieme di A.
Esempio:
l'equazione 2x³+x²=5x-2 ammette
in Q l'insieme di soluzioni {1,-2, 1/2 } Ì Q
in Z l'insieme di soluzioni {1,-2 } Ì Z
in N l'insieme di soluzioni {1} Ì N

7. Riferendoti all'uguaglianza

individua le affermazioni vere

    V F

    è una identità

    In N il suo insieme di soluzioni è {0, 1}

    In N il suo insieme di soluzioni è {1}

    E' un'equazione che ammette in Q l'insieme di soluzioni{-1, 1}

    E' una uguaglianza che non si verifica mai

    Il suo insieme di soluzioni in Z è {-1, 1}

Volendo risolvere una equazione in un insieme A,si possono presentare i seguenti casi:
l'insieme delle soluzioni è finito, S Ì A, l' equazione si dice determinata
l' insieme delle soluzioni è vuoto, S=F l' equazione si dice impossibile
l'insieme delle soluzioni coincide con A, S = A, l'equazione si dice indeterminata ,coincide con una identità.

8. A ciascuna delle seguenti uguaglianze associa la definizione corretta

    x2+6=-2
    2x(x-1)=2x2-2x
    2x(x-1)=0
    2x+4=y

9. Quale delle seguenti equazioni è impossibile in R ?

    x=2x
    x+3=3
    x²=-1
    x+2x=-55

10. Quale delle seguenti equazioni è impossibile in Z ?

    x=x+1
    x+1=0
    x+1=1
    x-1=1

Un'equazione si dice intera se i due membri sono espressioni intere rispetto all'incognita.
Si dice fratta se almeno uno dei due membri è fratto rispetto all'incognita,cioè contiene l'incognita al denominatore.
Si dice numerica se non presenta altre lettere oltre l'incognita.
Si dice letterale se , oltre all'incognita ,contiene altre lettere (i parametri) che rappresentano però numeri determinati.

11. Associa ad ogni equazione il suo aggettivo

Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.
Esempio:
le equazioni     x²=9    e    2 x²-18=0 sono equivalenti poichè ammettono entrambe S = {-3, +3}
le equazioni   x²=9 e 4x=12 non sono equivalenti, perchè la prima ammette S = {-3, +3} mentre la seconda ha S = { +3}.
I principi di equivalenza delle equazioni permettono di passare da una equazione ad un'altra a lei equivalente.
Primo principio di equivalenza : aggiungendo o sottraendo ai due membri di una equazione una stessa espressione ( anche contenente l'incognita,purchè non sia priva di significato),si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Esempio:
   3x-2=x+8      è un'equazione che ammette come soluzione x=5
se aggiungiamo al primo e al secondo membro 2-x
otteniamo   3x-2+2-x=x+8+2-x   e, sommando i termini simili,   2x=10 che è ammette ancora la soluzione x=5     dunque le due equazioni sono equivalenti
Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo i due termini di un'equazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione che non sia mai nulla o priva di significato, si ottiene una equazione equivalente a quella data.
Esempio:
x+2=5 ammette soltanto la soluzione x=3
se moltiplico i due membri per 2,
ottengo 2x+4=10 che ammette ancora soltanto la soluzione x=3
se invece moltiplico i due membri per x
ottengo x²+2x=5x che è verificata da x=3 ma anche da x=0 dunque le due equazioni non sono equivalenti, e questo perchè ho applicato male il secondo principio :ho moltiplicato per x che non è sempre diverso da zero

12. Individua l'equazione che non è equivalente a

    3x=18
    2x-x-4=2
    3x=6

13. Quale equazione non è equivalente alle altre?


    6x=x-2
    x-2x=3x

14. Quale tra le seguenti equazioni è equivalente a



    1=x
    x+1=0

Applicando il primo principio di equivalenza delle equazioni è possibile:
a)sopprimere due termini uguali che figurano nei due membri dell'equazione
   esempio:     2x+3=x+1+3       è èquivalente a
                     2x= x+1
                     perchè abbiamo sottratto a destra e a sinistra 3
b)trasportare un termine da un membro all'altro purchè venga cambiato il suo segno
   esempio     2x+3=1         è equivalente a
                    2x=1-3
                    perchè abbiamo sottratto 3 ai due membri dell'equazione

15. In quale dei seguenti esempi non è stato applicato correttamente il primo principio di equivalenza delle equazioni?

    2x-5=x-2

2x=x+3
    4-3x=7-8x

5x+4=7
    x+5=5

x=1
    6x-6+2x=3

8x=9

Applicando il secondo principio di equivalenza delle equazioni è possibile
a) cambiare di segno a tutti i termini dell'equazione
    esempio     -x+8=-3       è equivalente a
                      x-8=3
                    poichè ho moltiplicato i due termini dell'equazione per -1
b) passare da un'equazione a coefficienti frazionari ad una con coefficienti interi
    esempio

              moltiplicando i due membri dell'equazione per   6 che è il m.c.m. tra 3 e 2 si ottiene


c) semplificare un fattore numerico che sia comune a tutti i termini dell'equazione
    esempio      35x-14=21x-7         è equiavalente a
                       5x-2= 3x-1
               che è ottenuta dividendo primo e secondo termine per 7

16. Individua in quale esempio non è stato usato correttamente il secondo principio di equivalenza delle equazioni

    6x-6=18

x-1=3
    3-x=-2
-3+x=+2

Applicando i principi di equivalenza delle equazioni, abbiamo visto come sia possibile passare via via da un'equazione scritta in modo complicato ,ad un'altra a lei equivalente scritta di volta in volta in modo più semplice.
Trasportando nel primo membro tutti i termini, l'equazione si può porre nella forma
P(x) = 0 dove P(x) è un polinomio a coefficienti interi nella variabile x
detta forma normale dell'equazione.
Si definisce grado di una equazione rispetto all'incognita x,il grado del polinomio P(x) .

17. Associare ad ogni equazione il suo grado rispetto all'incognita x

18. Quale equazione si ottiene riducendo a forma normale la seguente?

    7x=2
    9x=6
    6x=0
    21x=9

19. Quale equazione si ottiene riducendo la seguente a forma normale?

    16x=17
    8x=5
    x=1
    16x=-37

20. Qual è la soluzione di
-2x = 8

    10
    6
    4
    -4

21. La soluzione di
2x+5=1 è

    x=-1/2
    x=6
    x=-2
    x=-3

22. L'insieme di soluzioni di
2(x+1)=5(x-1)-11
nell'insieme Q è

    S={-6}
    S={6}
    S={11/3}
    S={-15}

23. Se      4x+2=10
quanto vale 8x+2 ?

    20
    22
    18
    2

24. La soluzione della seguente equazione in Q è
(3x-1)(3x+1)=2+x+9x(x-1)



    5
    -5

Se l'equazione ridotta a forma normale ha il coefficiente dell'incognita uguale a 0,cioè si presenta nella forma
0x=termine noto
non si può trovare la sua soluzione dividendo per il coefficiente (ricorda il secondo principio), dunque non è determinata
Allora se il termine noto è 0 0x=0 l'equazione è indeterminata è infatti verificata "xÎQ

se il termine noto è diverso da 0 0x=n¹0 l'equazione è impossibile non c'è nessun numero che sostituito al posto di x verifichi l'uguaglianza

25. Quale delle seguenti equazioni non ammette soluzioni in Q ?

    5x=0
    0x=5
    5x=5
    0x=0

26. L'insieme di soluzioni di

in Q è

    S={0}
    S=F
    S={3}
    S=Q

27. L'uguaglianza   12=12+12x definita in Q è

    un'equazione determinata
    un'equazione indeterminata=identità
    un'equazione impossibile
    non è un'equazione

28. Associa ad ogni uguaglianza la corretta definizione


    7x-3=-3-7x

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V	F
		3x-5=2x
		a(a+3)=a²+3a
		(x+1)(x-1)-1=x²
		a(x-1)+x-1=a+1(x-1)
		3(x-1)+x-1=4(x-1)
		2(x-1)²+(x-1)=(x-1)(2x-1)

V	F
		è una identità
		In N il suo insieme di soluzioni è {0, 1}
		In N il suo insieme di soluzioni è {1}
		E' un'equazione che ammette in Q l'insieme di soluzioni{-1, 1}
		E' una uguaglianza che non si verifica mai
		Il suo insieme di soluzioni in Z è {-1, 1}