Dati nel piano due punti distinti   F₁  e   F₂ ( detti fuochi)  si dice ellisse il luogo geometrico dei punti del piano  per cui è costante la somma delle distanze da detti fuochi.

Svolgendo i calcoli si ottiene l'equazione canonica dell'ellisse:


Proprietà dell'ellisse:
1-  Simmetrica rispetto agli assi cartesiani
2- Vertici di coordinate (a;o) (-a;0)  (0;b)   (0;-b)
3- L'asse maggiore è l'asse che contiene i fuochi  pertanto
     
4- Relazioni tra  a,b,c

5- eccentricità  rapporto tra asse focale ed asse maggiore  

1. I fuochi dell'ellisse

hanno coordinate

    (3;0)  (-3;0)
    (0,5)  (0;-5)
    (0;3)  (0;-3)
    (4;0)  (-4;0)

2. L'eccentricità dell'ellisse

vale:

    7/5
    5/7
   
   

3. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere  e quali false relativamnete all'ellisse di equazione

	V	F
			F appartengonoi all'asse x
			a2=4
			b2=1

4. Quale tra i seguenti è il grafico dell'ellisse  di equazione


   
   
   
   

Troviamo adesso l'equazione dell'ellisse che verifica alcune condizioni particolari
Analizziamo in particolare i tre casi che si presentano più frequentemente:
1° CASO: Determinare l'equazione dell'ellisse di cui si conoscono i fuochi e due vertici
ESEMPIO:

I vertici appartengono come i fuochi all'asse y pertanto

L'equazione dell'ellisse è :

5. Scrivi l'equazione dell'ellisse di cui

a²=   c²= Poichè i fuochi appartengono all'asse x  ottieni   b²= 
L'equazione dell'ellisse risulta x^2/7+y^2/16=1 x^2/16+y^2/7=1 x^2/9+y^2/16=1  

2° caso:  Determinare l'equazione dell'ellisse passante per due punti

Esempio:

Si sostituiscono le coordinate dei punti nell'equazione dell'ellisse, si risolve il sistema associato determinando così l'equazione dell'ellisse:

Risolvendo il sistema con il metodo della riduzione ( moltiplicando una volta la prima equazione per -3 , una seconda volta la seconda equazione per -3 )   si ottiene

6. Determina l'equazione  dell'ellisse passante per i punti


   
   
   
   

3° caso: determinare l'equazione dell'ellisse di cui si conosce l'eccentricità e un punto

Esempio:(ellisse con fuochi sull'asse x )

Dall'eccentricità decuci che:

Si sostituisce il punto A

sostituendo il valore trovato dall'eccentricità ottieni:

7. Determina l'equazione dell'ellisse con fuochi sull'asse x
 

   
   
   
   

Per determinare l'equazione delle rette tangenti ad una ellisse si considera il sistema

Nell'equazione risolvente di secondo grado si impone la condizione di tangenza

8. Scrivi le equazioni delle rette tangenti all'ellisse x²+4y²=1  condotte dal punto P(3;0)
Il fascio di  rette per P ha equazione y=m(x-3) y-3=mx y=m(x+3) y+3=mx  
Considerando il sistema tra l'ellisse ed il fascio di rette ottieni l'equazione risolvente
di secondo grado (1-4m²)x²+24m²x+36m²+4=0 (1+4m²)x²-24m²x+36m²-4=0 (1+4m²)x²-24m²x+36m²+4=0 (1-4m²)x²-24m²x+36m²-4=0  la condizione di tangenza  espressa dal discriminante uguale a zero ci fornisce
i valori di m= +rad(5)/5 +1/2 +3  

Nel caso in cui si voglia determinare l'equazione della retta tangente ad un'ellisse condotta da un punto appartenente ad essa  è utile adoperare la formula di sdoppiamento che ci fornisce l'equazione della retta
         
Esempio:
Trovare la retta tangente all'ellisse

condotta dal suo punto

L'equazione della retta tangente è:

9. Determina l'equazione della retta tangente all'ellisse


    x+6y=1
   
   
   

10. Quale delle seguenti ellissi ha eccentricità  1/2

   
   
   
   

Risolvi adesso  alcuni esercizi  sull'ellisse 

11. Scrivi l'equazione delle rette paralele a  quella di equazione y=3x+5  che sono tangenti all'ellisse  di equazione


    Non esistono
    Sono infinite
   
   

12. Determina per quali valori di k l'equazione

rappresenta un'ellisse

    k=3
    k<3
    0<k<3  e  k>3
    k>3

13. Scrivi l'equazione della retta tangente all'ellisse di equazione

nel suo punto P di ascissa 3 e ordinata negativa

    y=6x-20
    y=-6x+20
    y=6x+20
    y=-6x-20

14. Scrivi l'equazione del luogo dei punti del piano per cui la somma delle distanze dai punti

vale


   
   
   
   

15. Determina l'eccentricità  dell'ellise in figura


   
   
   
   

16. Scrivi l'equazione dell'ellisse che ha un fuoco F(0;2) ed un vertice P(0;1)

   
   
    Ne esistono infinite
    Impossibile

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