Dati due polinomi A(x) di grado  n   e B(x) di grado   m   con  n> m, esistono sempre e sono unici due polinomi
Q(x)  e  R(x) chiamati rispettivamente quoziente e resto della divisione di A(x) per B(x) tali che 

A(x)=Q(x)^. B(x) + R(x)

Il grado di Q(x) = n-m     mentre il grado di R(x) è minore di m

1. Stabilisci  il grado del quoziente della divisione tra i seguenti polinomi



    2
    3
    4
    5

Per  eseguire la divisione tra polinomi si esegue lo stesso procedimento adoperato per la divisione tra due numeri naturali

Esempio: 


PRIMO PASSO:
Ordinare i polinomi secondo le potenze decrescenti di x

SECONDO PASSO:
Dividere il primo termine del polinomio dividendo per il primo termine del polinomio  divisore

TERZO PASSO:
Moltiplica il risultato ottenuto per il polinomio divisore e sottrailo al polinomio dividendo

Questo polinomio rappresenta il primo resto parziale poichè il suo grado è (maggiore o uguale) nel nostro caso uguale al grado del polinomio divisore possiamo ripetere i passi 2 e 3.
Il procedimento avrà termine quando il grado dl resto è inferiore al grado del divisore


Lo schema per la divisione è il seguente:
 2x³ + 3x² - 5x – 4               x² – x -1

-2x³ +2x² + 2x                        2x+5

          5x² - 3x  – 4
         -5x² + 5x +5

                   2x + 1      

2. Determina il quoziente della divisione tra polinomi    (3x³+6x²-x-2):(3x²-1)
  

    x+2
    0
    x-2
    non si può effettuare la divisione

3. Determina il resto della seguente divisione tra polinomi

(3x³-x²+4):(x+x²-2)

    3x-4
    0
    10x-4
    non si può effettuare la divisione tra i polinomi

4. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false

	V	F
			Il grado del quoziente di due polinomi è uguale al quoziente dei gradi
			Nella divisione tra polinomi è necessario ordinare i polinomi dividendo e divisore
			Il grado del resto è minore del grado del divisore
			Per potere effettuare la divisione tra polinomi il grado del divisore deve essere maggiore del grado del dividendo

Assegnato un polinomio A(x) ed un binomio di primo grado B(x)=x-a  il resto della divisione  A(x):B(x) è dato da A(a)

Esempio:
Calcola il resto della seguente divisione senza effettuarla

In questo caso si deve calcolare A(-2) cioè sostituire alla variabile x del polinomio dividendo il valore -2 :

5. Calcolare il resto della divisione tra polinomi

(4x²-6x+1):(x+1)

    -1
    1
    11
    -11

6. Determina il valore del parametro   a    per cui la  seguente  divisione è esatta

(2x²+3x+a-2):(x-1)

    5
    3
    4
    -3

La regola per determinare il quoziente ed il resto della divisione tra due polinomi A(x) e B(x) può essere semplificata quando il divisore B(x)=x-a
Questa procedura si chiama Regola di Ruffini 
Si deve completare una griglia  dove i coefficienti del polinomio dividendo  ordinato secondo le potenze decrescenti della variabile e completo (inserendo gli zero se non è completo ) vengono posti all'interno di due righe verticali parallele ponendo il termine noto oltre la seconda riga verticale
Si scrive il termine noto (1) del polinomio divisore ,cambiato di segno , nella seconda riga  a sinistra della prima riga verticale
Il coefficiente del termine di grado massimo viene riportato sotto la linea orizzontale
a)Si moltiplica tale numero per il numero di cui al punto (1) e si scrive il risultato  sotto il secondo coefficiente
b)Si sommano i numeri incolonnati ed il risultato si scrive sotto la linea orizzontale
Si ripetono i passaggi a e b  fino a completare lo schema
I termini al di sotto della retta orizzontale rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente ed il resto
Esempio:
Calcolare quoziente e resto della dicvisione:




Quoziente  3x²+10x+15        Resto  37

7. Applicando la regola di Ruffini determinare il resto delle seguenti divisioni

    0 7 (2x2+3x-5):(x-1)
    0 7 (3x2+4x+1):(x+1)
    0 7 (x2-5x+6):(x-2)
    0 7 (x3+4x2-x+3):(x+1)

8. Il risultato della divisione

(x⁴-x²-x+4):(x+2)

 è

   
   
   
    nessuna delle precedenti

9. Individua se le seguenti affermazioni sono vere o false

	V	F
			La regola di Ruffini si applica nella divisione di due polinomi qualsiasi
			Dato il polinomio dividendo A(x) ed il polinomio divisore  B(x)=x+7  allora A(7) rappresenta il resto della divisione tra i due polinomi
			Il polinomio A(x) è divisibile per (x+a) se e solo se A(-a)=0
			Dato il polinomio A(x) e B(x)=x2+a allora A(-a) rappresenta il resto della divisione A(x):B(x)

10. Determina se il polinomio

(a⁴-3a³+a²-3a)

è divisibile per i seguenti polinomi

	V	F
			a+1
			a-3
			a-2
			a+3

11. Per verificare che 



   
   
   
   

Il teorema di Ruffini è di fondamentale importanza quando si tratta di scomporre in fattori un polinomio.
La prima cosa da fare è riuscire a determinare gli eventuali zeri di un polinomio,per poterlo scomporre in fattori primi.
A tale scopo  si tiene conto della seguente  regola:

In un polinomio a coefficienti interi gli eventuali zeri  razionali devono essere cercati  tra i  numeri  del tipo

dove  a è un divisore  del termine noto   e    b   è un divisore del coefficiente  del termine di massimo grado

Esempio:

Scomporre in fattori primi  il polinomio  A(x)=6x³+x²-21x-10
Si determinano i divisori  di 10  e di 6 e si trovano gli eventuali zeri

Verifichiamo se questi valori costituiscono degli zeri per il polinomio applicando il teorema del resto
A(+1)=6+1-21-10=-24 non è uno  zero
A(-1) =-6+1+21-10=+6  non è uno zero
A(+2)= 6(8)+4-21(2)-10=48+4-42-10=0   è uno zero e si può effettuare la divisione con il metodo di Ruffini
Si ottiene   (x-2)(6x²+13x+5)
Si  scompone adesso 6x²+13x+5
A(-1/2)=6(1/4)+13(-1/2)+5=  3/2-13/2+5=0  , si effettua la divisione con il metodo di Ruffini e si ottiene
(x-2)(x+1/2)(6x+10) cioè
(x-2)(2x+1)(3x+5)

12. Quale risulta la scomposizione in fattori primi del polinomio

x³-6x²+11x-6 ?

    (x+1)(x-2)(x-3)
    (x-1)(x-2)(x-3)
    (x+1)(x+2)(x+3)
    (x+1)(x+2)(x-3)

13. La scomposizione in fattori primi del polinomio
2x⁴-5x²+2x+1

risulta:

    (x-1)(x+1)(2x²+4x+1)
    (x+1)²(2x²+4x+1)
    (x-1)²(2x²+4x+1)
    (x+1)(2x³+4x²+x+1)

Una applicazione della  scomposizione  mediante la regola di RUFFINI è la scomposizione del trinomio notevole



Nel primo caso si devono determinare due numeri a e b tali che la loro somma valga s ed il loro prodotto valga p

Esempio:
Scomporre il polinomio  x²-5x+6

s=-5       p=+6

I numeri che moltiplicati danno +6  sono    (-1)(-6)  ma non sono accettabili perchè la loro somma vale -7
                                    (+1)(+6)  ma non sono accettabili perchè la somma vale +7
                                    (-2)(-3) sono quelli cercati perchè la somma vale  -5

La scomposizione  del trinomio risulta (x+a)(x+b)  pertanto nel nostro caso (x-2)(x-3)

Nel secondo caso si devono determinare due numeri  f e g che abbiano come prodotto a*c e come somma b , il termine centrale  si scompone come fx+gx  e poi , applicando il raccoglimento a gruppi si ottiene la soluzione cercata

Esempio:
Scomponi in fattori primi il polinomio 2x²+5x+3
In questo caso si devono cercare due numeri che abbiano prodotto 6  e somma +5.  I due numeri cercati sono +2 e +3.
Il polinomio di partenza viene scritto nel seguente modo
         2x²+2x+3x+3
Applicando il procedimento del raccoglimento a gruppi si ottiene
         2x(x+1)+3(x+1)  =   (x+1)(2x+3)

14. Associa a ciascun trinomio notevole la relativa scomposizione in fattori primi

    (x+7)(x-1) (x-6)(x-1) (x+6)(x+1) (x-7)(x+1) x2-7x+6
    (x+7)(x-1) (x-6)(x-1) (x+6)(x+1) (x-7)(x+1) x2+7x+6
    (x+7)(x-1) (x-6)(x-1) (x+6)(x+1) (x-7)(x+1) x2-6x-7
    (x+7)(x-1) (x-6)(x-1) (x+6)(x+1) (x-7)(x+1) x2+6x-7

15. Associa ad ogni trinomio notevole la relativa scomposizione in fattori primi

    (y+1)(3y+2) (3y+1)(y-2) (y-1)(3y+2) (3y-1)(y+2) 3y2+5y+2
    (y+1)(3y+2) (3y+1)(y-2) (y-1)(3y+2) (3y-1)(y+2) 3y2+5y-2
    (y+1)(3y+2) (3y+1)(y-2) (y-1)(3y+2) (3y-1)(y+2) 3y2-y-2
    (y+1)(3y+2) (3y+1)(y-2) (y-1)(3y+2) (3y-1)(y+2) 3y2-5y-2

Un'altra applicazione della regola di Ruffini è la scomposizione in fattori primi della somma ( differenza ) di cubi

In particolare  si può dimostrare che la scomposizione in fattori avviene utilizzando le formule



Esempio :

Scomporre in fattori primi   27x³-1

Il primo termine è il cubo  di 3x   ed il secondo  termine  è il cubo di -1  pertanto applicando la regola si ottiene
         (3x-1)(9x²+3x+1)

16. Quale risulta la scomposizione in fattori primi del polinomio

x³+8

    (x+2)(x²+4x+4)
    (x-2)(x²+2x+4)
    (x-2)(x²+4x+4)
    (x+2)(x²-2x+4)

17. Quale risulta la scomposizione in fattori primi del seguente polinomio



   
   
   
   

Per determinare Il MCD tra polinomi devi
1:  Scomporre in fattori primi ogni polinomio
2:  Identificare i termini comuni con l'esponente minore

18. Determina MCD   dei seguenti polinomi



    (a-5)²
    a(a-5)
   
(a-5)
    a(a-2)(a-5)²(a²+5a+25)

19. Determina il mcm dei  seguenti polinomi



    1
    (a-3)(a-2)(a+4)
    (a-3)(a+4)
    nessuna delle precedenti risposte

20. Quale tra i seguenti polinomi  è divisibile per  x+2?

    x²-3x+2
    4x²-8x
    5x²-8x-4
    -x²+7x+18

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