Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro.
Questa distanza è chiamata raggio.

Se il centro ha coordinate :

l'equazione della circonferenza è la seguente:

1. Quale fra le seguenti è l'equazione di una circonferenza di centro C(2;-1) e raggio R=4?

   
   
   
   

Facciamo alcuni esempi in cui si applica la formula scritta precedentemente:
Scrivere l'equazione della circonferenza che ha per diametro il segmento AB di estremi A(-1;4)  B(3;2)

Per risolvere l'esercizio devi innanzitutto trovare il centro C che è il punto medio del segmento AB.
Ricordando le formule del punto medio :

ottieni le coordinate del centro:

Il raggio sarà la distanza fra il punto C e ad es. il punto A

Sei allora in grado di scrivere l'equazione della circonferenza:

2. Scrivi l'equazione della circonferenza che ha per diametro il segmento AB di estremi:
A(1;-1)  B(1;3).
Per rispondere alla domanda segui il seguente ragionamento:
"Il centro della circonferenza è il punto medio del segmento AB, le sue coordinate sono pertanto C(2;1) C(1;2) C(1;1) C(0;2)  ,il raggio è dato dalla distanza di C dal punto A o dal punto B, pertanto la misura del raggio è 4 2 8 1  . L'equazione della circonferenza è pertanto (x-1)²+(y-1)²=4 (x-2)²+(y-1)²=4 (x-0)²+(y-2)²=16 (x-1)²+(y-1)²=64  "

Scrivi l'equazione della circonferenza che ha centro in C(2;-5) e che è tangente alla retta d'equazione 3x+4y-1=0
Per risolvere l'esercizio bisogne ricordarsi che il raggio è la distanza del punto C dalla retta assegnata.
La formula per calcolare la distanza di un punto da una retta è la seguente:

Nel nostro caso a=3  b=4  c=-1    x_o=2  y_o=-5 , pertanto otteniamo

L'equazione della circonferenza è pertanto:

3. Scrivi l'equazione della circonferenza tangente alla retta 5x+12y-1=0 ed avente il centro di coordinate C(3;1).
Per rispondere alla domanda segui il seguente ragionamento:
"Per determinare il raggio della circonferenza si deve applicare la formula della distanza di un punto da una retta . Essendo a=5 b=12 c=-1 a=12 b=5 c=-1  , ed essendo xo=1 yo=3 xo=3 yo=1  , troviamo che R= 2 4  .L'equazione della circonferenza è pertanto (x-1)²+(y-3)²=16 (x-3)²+(y-1)²=4  "

L'equazione generale di una circonferenza è : x²+y²+ax+by+c=0
Le coordinate del centro sono:

Il raggio misura 

4. Associa ad ogni circonferenza il suo centro:

    C(-3;-1) C(1;-2) C(2;0) C(0;-2) x²+y²-4x=0
    C(-3;-1) C(1;-2) C(2;0) C(0;-2) x²+y²-2x+4y-1=0
    C(-3;-1) C(1;-2) C(2;0) C(0;-2) x²+y²+4y=0
    C(-3;-1) C(1;-2) C(2;0) C(0;-2) x²+y²+6x+2y-5=0

5. Associa ad ogni circonferenza il suo raggio.

    R=4 R=3 R=5 R=2 x²+y²-4x+2y-4=0
    R=4 R=3 R=5 R=2 x²+y²-2x+2y-2=0
    R=4 R=3 R=5 R=2 x²+y²-8x=0
    R=4 R=3 R=5 R=2 x²+y²-25=0

6. Trova la posizione reciproca delle circonferenze d'equazione:

Per rispondere alla domanda segui il seguente ragionamento:
" La prima circonferenza ha centro nel punto C(-4;-4) C(4;4) C(2;2) C(-2;-2)  ed il suo raggio misura R=2 R=4 R=3 R=1  .La seconda circonferenza ha centro nel punto C(-18;-12) C(18;12) C(-9;-6) C(9;6)  ed il suo raggio misura R=1 R=2 R=3 R=4  .Dato che la distanza frai centri misura più meno  della somma fra i raggi le due circonferenze sono secanti esterne  "

7. Qual è il grafico associato alla circonferenza d'equazione


   
   
   
   

8. Scrivi l'equazione della circonferenza concentrica a

e passante per P(1;-2)
Per rispondere alla domanda segui il seguente ragionamento:
"Due circonferenze sono concentriche se hanno lo stesso raggio centro  .Il centro della circonferenza da trovare è il punto di coordinate C(6;-2) C(3;-1) C(-6;2) C(-3;1)  .Il raggio è la distanza il punto medio   tra C e P e vale 3 4 5 6  .L'equazione cercata è pertanto (x+3) ²+(y+1) ²=16 (x+3) ²+(y-1) ²=25 (x+6) ²+(y+2) ²=16 (x-6) ²+(y-2) ²=25  "

9. Trova la posizione reciproca fra la circonferenza d'equazione

e le rette assegnate.

    secante tangente esterna x-y+5=0
    secante tangente esterna 2x-3y-1=0
    secante tangente esterna 4x-3y=0
    secante tangente esterna 2x-3=0

Guardiamo ora come si può trovare l'equazione della circonferenza passante per tre punti.
METODO ALGEBRICO
A(-1;-1)  B(0;1)   C(-3;0)
Dovremo andare a sostituire le coordinate dei tre punti assegnati nella circonferenza generica

e risolvere il sistema ottenuto.

otteniamo pertanto il sistema:


da cui si ottiene la circonferenza d'equazione

10. Quale fra le seguenti è l'equazione della circonferenza passante per i punti
A(3;6)   B(4;-1)   C(-4;5)  ?

    x ²+y²+4y-21=0
    x ²+y²-4y-21=0
    x ²+y²-4x-21=0
    x ²+y²-4y+21=0

11. Scrivi l'equazione della circonferenza passante per i punti A(4;2)  B(1;3)  C(0;2)
Per risolvere l'esercizio segui il seguente ragionamento:
"Per trovare la circonferenza passante per tre punti devi sostituire le coordinate dei punti nell'equazione generale
Sostituendo A si ottiene 20-4a+2b+c=0 20+4a-2b+c=0 20+4a+2b+c=0 20+4a+2b-c=0  , sostituendo B si ottiene 10+a+3b+c=0 10-a-3b+c=0 10-a+3b+c=0 10+a+3b-c=0  , sostituendo C si ottiene 4+2a+2b+c=0 4+2a+c=0 4+2b+c=0 4+2a+2b=0  . Risolvendo il sistema per sostituzione ottieni dalla prima equazione c=20+4a+2b c=-20-4a-2b c=20-4a+2b c=-20-4a+2b  , le altre due equazioni diventano pertanto -3a+b-10=0 e -4a-16=0 -3a+b+10=0 e -4a+16=0 -3a-b-10=0 e -4a-16=0 -3a+b-10=0 e 4a-16=0  . La soluzione del sistema è quindi a=4 b=2 c=0 a=4 b=0 c=2 a=-4 b=-2 c=0 a=-4 b=0 c=-2  "

Analizziamo ora un secondo procedimento per trovare la circonferenza passante per tre punti.
METODO GEOMETRICO
Quando applichiamo questo metodo sfruttiamo la condizione che il centro della circonferenza circoscritta ad un triangolo è il circocentro, cioè il punto d'incontro degli assi.
Da ricordare che l'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento.
Esempio:
Troviamo la circonferenza passante per i punti  A(5;3)  B(3;5)  C(1;-1)

1°  ASSE AB 
     P(x;y)   imponiamo che PA=PB  cioè  PA²=PB²
   
    da cui, facendo le opportune semplificazioni, otteniamo l'equazione dell'asse -x+y=0
2°  ASSE BC
     P(x;y)   imponiamo che PC=PB  cioè  PC²=PB²
    
     da cui, facendo le opportune semplificazioni, otteniamo l'equazione dell'asse -x-3y+8=0
3°  Ora troviamo le coordinate del centro facendo il sistema fra i due assi:
     
       centro  O(2;2)
4°  Ora troviamo la misura del raggio che sarà la distanza fra il centro ed uno qualunque dei punti iniziali
     O(2;2)  A(5;3)
    
5° Avendo centro e raggio possiamo scrivere l'equazione della circonferenza:
   

12. Scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti A(0;0) B(4;0)  C(0;8)
Per rispondere segui il seguente ragionamento:
"Per trovare il centro della circonferenza dobbiamo trovare il punto d'incontro degli assi.L'asse del segmento AB si trova imponendo PA²=PB² PA=PB PA²+PB²=0 PA+PB=0  ed ha equazione x+2=0 y+2=0 x-2=0 y-2=0  .L'asse del segmento BC si trova imponendo PC²=PB² PC=PB PC²+PB²=0 PC+PB=0  ed ha equazione x+2y+6=0 x+2y-6=0 x-2y+6=0 x-2y-6=0  .
Risolvendo il sistema otteniamo le coordinate del centro che sono O(-2;2) O(2;2) O(-2;4) O(2;4)  .La misura del quadrato del raggio è 10 20 30 40  , pertanto l'equazione della circonferenza risulta x²+y²+4x+8y=0 x²+y²+4x-8y=0 x²+y²-4x+8y=0 x²+y²-4x-8y=0  "

Analizziamo ora il problema di trovare le tangenti ad una circonferenza.
PRIMO CASO
Tangente ad una circonferenza condotta per un suo punto.

Per trovare la tangente dovremo sfruttare la condizione che la retta è perpendicolare al raggio.
Esempio:
Assegnata la circonferenza d'equazione x²+y²-5x+6y+4=0 scrivere la retta tangente passante per il suo punto T(1;0)
PRIMO PASSO         
Trovare il centro della circonferenza

SECONDO PASSO   
Trovare il coefficiente angolare della retta CT

TERZO PASSO
Trovare il coefficiente angolare della retta tangente
Sapendo che la retta tangente è perpendicolare al raggio troviamo

QUARTO PASSO
Scrivere l'equazione della retta tangente
y=mx+n   cioè y=½x+n
Sostituendo le ccordinate di T otteniamo
0=½+n   cioè  n=-½
la retta tangente ha pertanto equazione : y=½x-½

13. Determinare l'equazione della retta tangente alla circonferenza x²+y²-4x-2y-20=0 nel suo punto T(5;5)
Per rispondere segui il seguente ragionamento:
"Il centro della circonferenza è il punto di coordinate C(-2;-1) C(2;1) C(-4;-2) C(4;2)  , il coefficiente angolare della retta CT vale m=4/3 m=-4/3 m=3/4 m=-3/4  ,il coefficiente angolare della retta tangente vale m=4/3 m=-4/3 m=3/4 m=-3/4  ,pertanto la retta tangente ha equazione 3x+4y+35=0 3x-4y+35=0 3x-4y-35=0 3x+4y-35=0  "

14. Qual è l'equazione della tangente t alla circonferenza in figura?


    x-y-1=0
    x+y+1=0
    x-y+1=0
    x+y-1=0

SECONDO CASO
Tangenti ad una circonferenza condotte da un punto esterno

Per trovare le tangenti condotte da P dovremo scrivere il fascio di rette passanti per P, le rette tangenti saranno quelle che distano dal centro R.
Esempio:
Scrivere le tangenti alla circonferenza x²+y²+x+y-2=0  passanti per il punto P(¾;¾)
PRIMO PASSO
Trovare centro e raggio della circonferenza
C(-½;-½)

SECONDO PASSO
Scrivere l'equazione del fascio di rette di centro P


che scritto in forma implicita diventa
4mx-4y+3-3m=0
TERZO PASSO
Imporre che d(C,t)=R
Facciamo la distanza di un punto da una retta
a=4m  b=-4  c=3-3m
x_o=-½  y_o=-½

Ora dobbiamo imporre che questa distanza valga R e cioè

elevando al quadrato si ottiene

che fornisce le soluzioni

Sostituendo questi valori nel fascio di rette otteniamo le due tangenti

15. Trovare le tangenti alla circonferenza x²+y²+3x+3y+2=0 passanti per P(-1/4;-1/4).
Per rispondere segui il seguente ragionamento:
"Il centro della circonferenza è il punto di coordinate C(3;3) C(-3;-3) C(3/2;3/2) C(-3/2;-3/2)  , il raggio misura 4 rad(20) rad(5/2) 1  .Il fascio di rette passanti per P ha equazione 4mx-4y+m-1=0 4mx+4y+m-1=0 4mx-4y-m-1=0 4mx-4y+m+1=0  . Imponendo la condizione d(C,t) d(C,t)>R d(C,t)=R  , si ottiene l'equazione 3m²-10m+3=0 3m²-10m-3=0 3m²+10m+3=0 3m²+10m-3=0  che fornisce come soluzioni m=3 e m=1/3 m=3 e m=-1/3 m=-3 e m=1/3 m=-3 e m=-1/3  .Le rette tangenti hanno pertanto equazione 3x-y-1=0 e x-3y-1=0 3x-y+1=0 e x-3y+1=0 3x+y+1=0 e x+3y+1=0 3x+y-1=0 e x+3y-1=0  "

TERZO CASO
Tangenti ad una circonferenza parallele o perpendicolari ad una retta assegnata
Il procedimento risolutivo è analogo a quello analizzato precedentemente, solo che il fascio di rette si scrive nella forma y=mx+n
Esempio:
Trovare le rette tangenti alla circonferenza d'equazione x²+y²+5x-4y=0 parallele alla retta 5x-4y+11=0

PRIMO PASSO
C(-5/2;2)      

SECONDO PASSO
La retta assegnata 5x-4y+11=0 ha coefficiente angolare m=-a/b =5/4 pertanto il fascio di rette ha equazione y=5/4x+n che svolgendo i calcoli diventa 5x-4y+4n=0
TERZO PASSO
d(C,t)=R

Risolvendo l'equazione con il valore assoluto otteniamo:

Le rette tangenti hanno pertanto equazione:
5x-4y=0  e 5x-4y+41=0

16. Assegnata la circonferenza d'equazione x²+y²-x+3y=0, trova le tangenti ad essa perpendicolari alla retta d'equazione x+3y=0.
Per rispondere segui il seguente ragionamento:
"La circonferenza assegnata ha centro nel punto C(-1;3) C(1;-3) C(-1/2;3/2) C(1/2;-3/2)  e raggio R=rad(10) R=rad(5) R=rad(5/2) R=rad(15)  . La retta assegnata ha coefficiente angolare m=3 m=-3 m=1/3 m=-1/3  , dato che due rette sono perpendicolari se m'=m m'=-1/m  ,il fascio di rette cercato ha equazione 3x-y+n=0 3x-y-n=0 3x+y+n=0 3x+y-n=0  .Imponendo la condizione d(C,t)=R troviamo l'equazione |3-n|=5 |3+2n|=5 |3+n|=5 |3-2n|=5   che fornisce come soluzione n=2 e n=8 n=-2 e n=8 n=2 e n=-8 n=-2 e n=-8  , le rette tangenti hanno pertanto equazione 3x-y+2=0 e 3x-y-8=0 3x-y-2=0 e 3x-y-8=0 3x-y-2=0 e 3x-y+8=0 3x-y+2=0 e 3x-y+8=0  "

17. Stabilisci quali affermazioni relative alla circonferenza d'equazione
x²+y²-6x+5=0
è vera e quale falsa.

	V	F
			E' simmetrica rispetto all'asse x
			E' simmetrica rispetto all'asse y
			Passa per l'origine degli assi.
			Passa per il punto P(2;1)
			Ha raggio 2.

18. Stabilire quali punti sono interni, quali esterni e quali appartengono alla circonferenza d'equazione
x²+y²-4x-2y-5=0.

    esterno interno sulla circonferenza P(-1;2)
    esterno interno sulla circonferenza P(0;-1)
    esterno interno sulla circonferenza P(3;-2)
    esterno interno sulla circonferenza P(6;0)
    esterno interno sulla circonferenza P(2;2)

19. Trova per quali valori di k l'equazione x²+y²-6x+8y+2+k=0
rappresenta l'equazione di una circonferenza.

   

20. Trova la circonferenza che ha centro nell'origine degli assi e che passa per il punto d'intersezione delle rette r:x-3y=0 e s: x+3y-6=0.
Per rispondere segui il seguente ragionamento:
"Per trovare il punto d'intersezione tra r e s dobbiamo risolvere il sistema la cui soluzione è P(3;3) P(3;1) P(1;3) P(-1;-3)  ,il raggio della circonferenza è la distanza il punto medio  tra Ce P e misura R=1 R=3 R=rad(10) R=rad(13)  .L'equazione della circonferenza è quindi x²+y²=1 x²+y²=9 x²+y²=10 x²+y²=13  

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