LA PROBABILITA' NELLA CONCEZIONE CLASSICA

La probabilità p(E) di un evento E è il rapporto tra il numero m dei casi favorevoli ( al verificarsi di E ) ed il numero n dei casi possibili.

Se m=0, ossia se non esistono casi favorevoli al verificarsi dell'evento E, l'evento si dice impossibile e la sua probabilità vale p(E)=0.
Se m=n, ossia se tutti i casi sono favorevoli al verificarsi dell'evento E, l'evento è detto certo e la sua probabilità vale p(E)=1.
In ogni caso potremo affermare che 0<p<1
Si definisce evento contrario,l'evento che si verifica se e solo se non si verifica E e la sua probabilità è data da


Facciamo un esempio:
Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte.Calcolare la probabilità di ottenere una figura.

In un mazzo di carte vi sono 12 figure ( 3 per ogni seme ) quindi m=12
Il mazzo di carte è da 40 pertanto n=40
Da cui deduciamo che

1. Un'urna contiene 6 palline rosse, 4 nere e 8 bianche.Qual è la probabilità di avere:
- Una pallina bianca   
- una pallina nera   
- una pallina non bianca  
- una pallina blu  
(Se il risultato è una frazione scrivila nella forma ridotta a/b)

A volte, per poter determinare esattamente quanti sono i casi favorevoli e quanti sono quelli possibili, è utile il calcolo combinatorio.

Facciamo un esempio:

Un'urna contiene 5 palline rosse e 10 palline nere, tutte uguali tra loro.Si estraggono contemporaneamente due palline, calcolare:
a) La probabilità di estrarre due palline rosse
b) L a probabilità di estrarre 1 pallina rossa e 1 pallina nera

SOLUZIONE:
a) Casi favorevoli: tutti i modi in cui posso prendere due palline rosse delle 5 presenti. L'ordine non è importante quindi si tratta di combinazioni . Quindi m=C_5,2
Casi possibili : tutti i modi in cui posso prendere due palline delle 15 presenti nell'urna. Anche in questo caso l'ordine non è importante quindi n=C_15,2.

b) Casi favorevoli: Estrazione di una pallina rossa C_5,1.   Estrazione di una pallina nera C_10,1.
da cui otteniamo m=C_5,1^.C_10,1=5^.10=50
I casi possibili sono ancora n=C_15,2, pertanto

2. In una scatola sono contenute 100 viti, delle quali 10 sono difettose, ma non distinguibili esternamente dalle altre. Si prendono a caso contemporaneamente 3 viti, calcolare la probabilità di avere:
a) 3 viti non difettose   
b) 2 viti non difettose e 1 vite difettosa  

(se la risposta è una frazione scriverla nella forma ridotta a/b)

3. Si estraggono contemporaneamente 3 carte da un mazzo di 40 carte.
Associa ad ogni probabilità richiesta il suo valore

    24/1235 11/494 33/1235 probabilità di avere 3 figure
    24/1235 11/494 33/1235 probabilità di avere 2 figure e un asso
    24/1235 11/494 33/1235 probabilità di avere una figura, un asso e un sette

EVENTI INCOMPATIBILI E EVENTI COMPATIBILI

Due eventi A e B si dicono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente , cioè se AÇB=Æ

Due eventi A e B si dicono compatibili se  possono verificarsi contemporaneamente , cioè se AÇB‡ Æ

4. Un'urna contiene 20 palline numerate da 1 a 20,stabilisci quali fra i seguenti eventi sono compatibili e quali incompatibili.

    compatibili incompatibili A:Estrazione di un multiplo di 10 B:Estrazione di un multiplo di 3
    compatibili incompatibili A:Estrazione di un multiplo di 5 B:Estrazione di un multiplo di 2
    compatibili incompatibili A:Estrazione di un multiplo di 7 B:Estrazione di un multiplo di 5

TEOREMA DELLA PROBABILITA' TOTALE

Dati due eventi A e B, la probabilità della somma logica dei due eventi, cioè P(AÈB) vale:

P(AÈB) = p(A) + p(B) - p(AÇB)

Questa relazione è chiamata relazione di Boole.

5. Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false:

	V	F
			Siano A e B due eventi incompatibili, se p(A)=0.35 e P(B)=0.15 allora P(AÈB)=0.50
			Se A e B sono due eventi compatibili e p(A)=0.45  p(B)=0.78 e P(AÈB)=0.8925, allora p(AÇB)=0.3375
			Siano A e B due eventi incompatibili, se p(A)=0.28 e P(B)=0.35 allora P(AÈB)=0.07
			Siano A e B due eventi compatibili, se p(A)=0.28 e P(B)=0.35 e p(AÇB)=0.098 allora P(AÈB)=0.728

6. Un'urna contiene 30 palline delle quali 12 Rosse, 8 Bianche e 10 Verdi.
Calcola la probabilità che estraendo contemporaneamente tre palline escano tre palline di cui almeno due verdi.
Per rispondere esattamente segui il seguente ragionamento:
"Gli eventi da considerare sono due, l'evento A: estrazione di due palline verdi e una non verde e l'evento B: estrazione di tre palline verdi, Essi sono compatibili incompatibili   .La probabilità dell'evento A è (C10 ,1.C20 ,2 )/C30,3 (C10 ,2.C12 ,2 )/C30,3 (C10 ,2.C20 ,1 )/C30,3 (C10 ,2.C8 ,1 )/C30,3  , la probabilità dell'evento B è (C10 ,2 )/C30,3 (C10 ,3)/C30,3 (C20 ,3 )/C30,3 (C12 ,3)/C30,3  , pertanto la probabilità p(AÈB) vale 45/203 6/203 64/203 51/203  "

7. Calcola la probabilità che lanciando due volte un dado si realizzi come somma 8 o 10.

(Scrivi il risultato come una frazione ridotta ai minimi termini a/b)

   

PROBABILITA' CONDIZIONATA:EVENTI DIPENDENTI ED EVENTI INDIPENDENTI

Si definisce  probabilità di un evento A condizionata ( o subordinata ) all'evento B e si indica  P(A/B), la probabilità del verificarsi di A nell'ipotesi che B si sia verificato.

Due eventi si dicono stocasticamente indipendenti ( ossia indipendenti dal punto di vista del calcolo delle probabilità ) se p(A)=p(A/B)
Se non vale l'uguaglianza precedente gli eventi si definiscono stocasticamente dipendenti

PROBABILITA' COMPOSTA

Dati due eventi si definisce evento composto o prodotto logico degli eventi, l'evento che risulta verificato se gli eventi componenti si verificano entrambi e la sua probabilità è data da :

p(AÇB)=p(A)^.p(B/A)

oppure

p(AÇB)=p(B)^.p(A/B)

8. Un'urna contiene 5 palline numerate da 1 a 5. Si estraggono successivamente e senza reimmissione due palline dall'urna, calcolare la probabilità di estrarre due numeri dispari

Per rispondere segui il seguente ragionamento:
"Consideriamo i due eventi A:primo numero estartto dispari  e B: secondo numero estratto dispari. I due eventi sono dipendenti indipendenti  .Le probabilità sono p(A)=3/5 p(A)=2/5 p(A/B)=2/5 p(A/B)=3/5  , e p(B)=3/5 p(B)=2/5 p(B/A)=2/5 p(B/A)=2/4  .Applicando il teorema della probabilità totale composta   otteniamo che la probabilità vale 3/5 2/4 7/10 3/10  "

9. In un insieme universo U sono dati due eventi A,B di cui sono note:


Determinare  :
 

 

 


Scrivi i risultati con frazioni a/b

Ci sono esercizi sulla probabilità composta che si possono rappresentare con i grafi ad albero.
Facciamo un esempio:
Si hanno 3 urne:
U1  contiene 12 palline rosse e 8 palline verdi
U2  contiene 10 palline rosse e 15 palline verdi
U3  contiene 9 palline rosse e 6 palline verdi
Si lancia un dado, se esce un numero non superiore a 3 si estrae una pallina dalla prima urna, se viene un numero superiore a 4 si estrae una pallina dalla seconda urna e se viene 4 si estrae una pallina dalla terza urna.
Calcola la probabilità che la pallina estratta sia rossa.

Sui rami dell'albero si rappresentano le probabilità dei vari eventi, ad esempio uscita di un numero non superiore a 3 p=3/6 e così via ed otteniamo:


Applichiamo ora il teorema della probabilità composta ed otteniamo:

10. Quale dei seguenti grafi ad albero rappresenta il seguente problema?
Si hanno 3 urne:
U1  contiene 10 palline rosse e 5 palline verdi
U2  contiene 12 palline rosse e 18 palline verdi
U3  contiene 5palline rosse e 15 palline verdi
Si lanciano due dadi, se escono due numeri la cui somma è 7  si estrae una pallina dalla prima urna, se escono due numeri la cui somma è 8 si estrae una pallina dalla seconda urna in caso contrario si estrae una pallina dalla terza urna.

   
   
   
   

11. Assegnato il diagramma ad albero

qual è la probabilità
a) Di estrarre una pallina nera? 
b) Di estrarre una pallina rossa?  

(Scrivi il risultato con una frazione ridotta ai minimi termini a/b)

Ora ti verranno proposti una serie di esercizi di ripasso sulla probabilità.
Se non ti ricordi le formule potrai rivederle cliccando sul bottone formule.

12. In un insieme universo U sono assegnati gli eventi A e B.
Sapendo che p(A)=0.4  ,   p(B)=0.6  ,    p(AÈB)=0.85
determina:
P(AÇB)    ,  p(A/B)    ,  p(B/A)    

(Scrivi le risposte come numeri decimali nella forma ad es 0.36)

13. Da un mazzo di carte da 52 si estrae una carta, detrmina la probabilità che:
a) la carta sia di fiori o di picche  
b) la carta sia una figura o un asso  
c) la carta sia un sette o una carta di picche  

(Scrivi la soluzione come una frazione ridotta ai minimi termini del tipo a/b)

14. In un gruppo di 1000 persone la probabilità di essere miope è 0.1 e la probabilità di essere mancino è 0.08.Se queste caratteristiche sono indipendenti:
Stabilisci quali fra le seguenti affermazioni sono vere e quali false

	V	F
			Il numero delle persone che sono mancini e miopi é 172
			Il numero delle persone che sono mancini o miopi è 8

15. La probabilità per un trentenne di vivere ancora 40 anni è 0.631921 e per sua moglie di 26 anni è 0.850433.
Calcolare, supponendo l'indipendenza fra gli eventi , la probabilità che:
a) Siano entrambi vivi tra 40 anni   
b) Siano entrambi morti tra 40 anni   
c) Uno solo sia vivo tra 40 anni  

(Scrivi il risultato come un numero decimale con 6 cifre decimali del tipo 0.123456)

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