Scomporre un polinomio in fattori vuol dire trasformarlo nel prodotto tra un monomio e un polinomio   o di più  polinomi.

1. Quale tra le seguenti scritture non rappresenta un polinomio scomposto in fattori?

   
   
   
   

2. Quale tra i seguenti polinomi è scomposto in fattori?

   
   
   
   

Per scomporre un polinomio in fattori si possono usare vari metodi.
Nei prossimi esercizi ne prenderemo in considerazione alcuni.
Quando avrai preso familiarità con essi, ti verranno proposti polinomi per la cui scomposizione sarà necessario usare più metodi uno di seguito all'altro.
Raccoglimento a fattore comune (mettere in evidenza):
se tutti i termini di un polinomio hanno un fattore comune (il M.C.D.tra tutti i monomi che lo compongono),si raccoglie tale fattore e si moltiplica per il quoziente che si ottiene dividendo il polinomio per il fattore comune.
Esempio:
 
calcolo M.C.D. tra i suoi monomi 
allore la scomposizione è
 
Osserva che se esegui la moltiplicazione usando la proprietà distributiva ottieni il polinomio dato..

3. La scomposizione di

è

   
   
   
   

4. Inserisci al posto dei puntini per rendere vera l'uguaglianza


    ab
    3ab
   
    3

5. Mettendo in evidenza ,il polinomio

si scompone in

   
   
   
   

Quando si fa un raccoglimento a fattore comune, i termini del polinomio possono avere in comune anche termini polinomiali.
Esempio:

6. Riconosci la scomposizione corretta di


   
   
   
   

La scomposizione mediante il raccoglimento parziale o "a gruppi",si esegue formando con i termini di cui è composto il polinomio due o più gruppi ,in ciacuno dei quali si può fare il raccoglimento a fattore comune.
Esempio:
     3x-6y+2ax-4ay 
si considerano i due gruppi  3x+2ax   e   -6y-4ay
in ciascun gruppo si esegue il raccoglimento,per cui il polinomio dato risulta
   = x(3+2a)-2y(3+2a)
ed ora eseguendo il raccoglimento totale
  =(3+2a)(x-2y)

7. La scomposizione di
5ax+ay-y-5x
è

    (5x-y)a
    (a-1)(5x+y)
    5x(a-1)+y(a-1)
    a(5x+y)(-1)

8. Individua le uguaglianze vere

	V	F

9. nserisci l'espressione che rende vera ciascuna  uguaglianza
2x²y-xy+2x² -x=x(y+1)( 2x^2-1 2x-1 2x -x+1  )
4a³-4a²-3a+3=( (a+1) (a-1) (-a-1) (-a+1)  )(4a²-3)
ax+ay-x(x+y)²+2x+2y=(x+y)( a-x+2 a-x^2 -xy+2 a-x^2+xy+2 (a+2)(x+y)  )
4a²b²+4a²-b²-1=(4a²-1)( b+1 b^2+1 b^2-1 b^2  )

Dopo aver raccolto eventualmente il fattore comune ,per scomporre un polinomio in fattori si prova a riconoscere se il polinomio dato è uno  dei prodotti notevoli studiati; per questo motivo si inizia a contare il numero dei termini di cui il polinomio è formato.   Se un polinomio è di tre termini si può pensare che sia lo sviluppo del quadrato di un binomio.       Si individuano tra i suoi termini,se ci sono, i due monomi quadrati perfetti,da questi si deducono le basi; ora  è necessario verificare se il termine non ancora preso in esame costituisce il doppio prodotto delle basi trovate ; se è così vuol dire che il trinomio studiato è veramente il quadrato di un binomio e si può scomporre in fattori.
Esempio:

 
è un trinomio,  cerco i monomi quadrati perfetti, riconosco che

verifico che il termine non ancora preso in esame è il doppio prodotto delle basi individuate
 
posso allora scomporre il trinomio nel quadrato del binomio ottenuto come differenza tra le basi, perchè il doppio prodotto era negativo
  
Nel caso in cui il doppio prodotto sia positivo il trinomio è uguale al quadrato del binomio somma delle due basi individuate .
Esempio:
                                                                                                                                      

10. Riconosci in quale dei seguenti trinomi compaiono due quadrati perfetti

   
   
   
   

11. Quale tra i seguenti trinomi è il quadrato di un binomio?

   
   
   
   

12. Quali tra le seguenti uguaglianze sono vere e quali false?

	V	F

13. Qual è la scomposizione di


   
    Non si può scomporre in fattori
   
   

14. Qual è la scomposizione di


   
   
   
   

Se il polinomio da scomporre è un binomio si può pensare che sia la differenza di due quadrati e scomporlo con la formula

dovremo cioè individuare le basi e scomporre il binomio nel prodotto tra la somma e la differenza delle basi.
Esempio:
 

15. Qual è la scomposizione di


   
   
   
    non si può scomporre

16. Quali tra le seguenti uguaglianze sono vere e quali sono false

	V	F

17. Qual è la scomposizione di


    Non si può scomporre
   
   
   

18. Individua le espressioni  da sostituire per rendere vere le uguaglianze
-9x⁴y²+1=(-3x²y+1)( -3x^2*y+1 -3x^2*y-1 3xy+1 3x^2*y+1  )

4a⁶- -9 +9 -3a -27  =(2a³-3)( 2a^3-3 2a^3+3 2a+3 2a-3  )

(x⁴-9)³=(x²-3)³( x-3 x+3 x^2-3 x^2+3  )³

19. Dopo aver riconosciuto in questo polinomio una differenza tra quadrati,indica la sua scomposizione


   
   
   
   

20. La scomposizione in fattori primi del polinomio 

è

   
   
   
   

21. Per ciascuno dei polinomi indica con quale metodo si trova la sua scomposizione in fattori

    raccoglimento a fattore comune raccoglimento parziale quadrato di binomio somma per differenza 9/4x^2-9/4x+9/4
    raccoglimento a fattore comune raccoglimento parziale quadrato di binomio somma per differenza 16x^8-9a^4
    raccoglimento a fattore comune raccoglimento parziale quadrato di binomio somma per differenza a^4-12a^2+36
    raccoglimento a fattore comune raccoglimento parziale quadrato di binomio somma per differenza 2c^4-c+c^5-2
    raccoglimento a fattore comune raccoglimento parziale quadrato di binomio somma per differenza a^2+4-a^3-4a

Se il polinomio da scomporre è un quadrinomio si può pensare ad un cubo di binomio.
Vediamo come ci si deve comportare per riconoscerlo:se il polinomio è di quattro termini si individuano tra di essi due cubi perfetti (ricordiamo che un monomio è un cubo se il suo coefficiente è un cubo e le lettere della sua parte letterale hanno tutte esponente multiplo di tre); dai cubi si trovano le basi e a quel punto si devono calcolare i due tripli prodotti che sappiamo figurano nello sviluppo del cubo e controllare se coincidono con i due termini del quadrinomio che non sono ancora stati considerati.Solo a questo punto siamo in grado di affermare che il quadrinomio è lo sviluppo del cubo del binomio ottenuto con le due basi individuate.
Esempio:

si riconoscono i due cubi

allora si calcolano i due tripli prodotti così come compaiono nella formula del cubo del binomio

poichè questi due termini coincidono con i due monomi del quadrinomio che non erano stati prese in esame, possiamo concludere che davvero il nostro polinomio è lo sviluppo di un cubo e scrivere

22. Qual è la scomposizione di


   
   
   
   

23. Quale tra i seguenti polionomi è lo sviluppo del cubo di un binomio?

   
   
   
   

24. Sostituisci, scegliendo tra le alternative proposte,in modo da rendere vere le uguaglianze
-8a³ +12a² -6a+1=( 3a 2a -2a -4a  +1)³
27 +9y -9y +27y -27y  +9y²-y³=( -3 3 9 -9  -y)³

64a³ +12ab² -b³-4a²b=( 2a -4a 16a 4a  -b)³

25. Qual è la scomposizione di


   
   
   
   

26. Dopo aver effettuato un raccoglimento a fattore comune, riconosci nel seguente quadrinomio lo sviluppo di un  cubo


   
   
   
   

27. Qual è la scomposizione di


   
   
   
   

Dati due o più polinomi per calcolare il loro Massimo Comune Divisore ( M.C.D.)   o il loro minimo comune multiplo (m.c.m.) si scompongono i polinomi assegnati in fattori ,dopo di che:
il M.C.D. è ilprodotto dei soli fattori comuni a tutti i polinomi presi una sola volta con l'esponente minore
il m.c.m. è il prodotto dei fattori comuni e non comuni a tutti i polinomi,presi una sola volta, con l'esponente maggiore.
Esempio:
Calcoliamo il M.C.D. tra

28. Dati i seguenti polinomi scomposti in fattori, quale delle seguenti affermazioni è vera e quale  falsa.

	V	F
			Il loro M.C.D.è x(x+1)
			IL loro m.c.m. è x2(x+1)2
			Il loro M.C.D. è x
			Il loro m.c.m. è x2(x2+1)(x+1)2

29. Dati i seguenti polinomi scomposti in fattori,indica quale delle seguenti affermazioni è vera e quale è falsa

	V	F
			Il m.c.m.è
			Il m.c.m.è
			Il M.C.D. è
			Il M.C.D.è

30. Quli sono il m.c.m. e il M.C.D. tra i polinomi


   
   
   
   

31. Qual è il M.C.D. tra


    ab
    a-b
   
    1

32. Il m.c.m. tra i seguenti polinomi é


   
    a-b
   
   

33. Il M.C.D. tra i seguenti polinomi è


   
   
   
   

34. Dati i polinomi    a+b    e     a²-2ab+b²      quale delle seguenti affermazioni è vera?

    il loro M.C.D.  è   a-b
    il loro m.c. m. è   1
    il loro m.c.m. è (a-b)²
    il loro m.c.m. è (a-b)²(a+b)

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