Il calcolo combinatorio studia ed insegna a contare i vari raggruppamenti che si possono ottenere da un insieme di oggetti dati prendendo ogni volta un certo numero di essi.
In generale si fa la distinzione tra raggruppamenti semplici e raggruppamenti con ripetizione.
Si definiscono raggruppamenti semplici quando all'interno di uno stesso raggruppamento un oggetto non può ripetersi.
Si definiscono raggruppamenti con ripetizione quando all'interno di uno stesso raggruppamento un oggetto può ripetersi.

1. Assegnati due insiemi A={1;2;3;4}  e B{x;y;z} , quante sono le possibili sigle che si possono formare associando un elemento del primo insieme A ad un elemento del secondo insieme B?

    6
    10
    12

DISPOSIZIONI SEMPLICI

Assegnati n oggetti distinti, si definiscono disposizioni semplici di classe k, tutti i possibili sottoinsiemi di k elementi che si possono formare con gli n oggetti dati, che differiscono o per l'ordine o per almeno un elemento.

Diamo ora la formula che permette di calcolarle:
D_n,k=n(n-1)(n-2)........(n-k+1)

Ad esempio il numero di disposizioni semplici di 10 oggetti di classe 4 vale:
D_10,4=10^.9^.8^.7=5040

2. Associa ad ogni formula il suo valore numerico

    60 840 120 56 D5,3
    60 840 120 56 D6,3
    60 840 120 56 D8,2
    60 840 120 56 D7,4

PERMUTAZIONI SEMPLICI

Dati  n oggetti distinti si chiamano permutazioni semplici degli n oggetti , tutti i raggruppamenti che si possono formare con gli n oggetti prendendoli una volta tutti.

Diamo ora la formula che permette di calcolarle:

P_n=n(n-1)(n-2)......1  = n! ( Questo simbolo si legge n fattoriale )

Ad esempio:

P₅=5^.4 ^.3^.2^.1 = 120

Ricordiamo a questo proposito due proprietà del fattoriale:

0!=1
n!=n(n-1)!

3. Stabilisci quali delle seguenti affermazioni è vera e quale è falsa:

	V	F
			4!=4.3!
			0!=0
			3!=6
			5!=5.4.3!

COMBINAZIONI SEMPLICI

Dati n oggetti distinti , si definiscono combinazioni semplici di classe k, tutti i possibili sottoinsiemi di k elementi che differiscono almeno per un elemento ma non per l'ordine.

La formula che ci permette di calcolarle è la seguente:


Guardiamo quindi come fare per calcolare  C_10,4 

4. Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali false.

	V	F
			C5,2=20
			C5,2=10
			C5,2=D5,2 .2!
			C7,2=(7.6.5)/2!

Passiamo ora a qualche esercizio un po' più difficile:

Determinare in quanti modi diversi 8 persone possono occupare i 6 posti di uno scompartimento ferroviario di prima classe.

L'insieme è formato da 8 elementi, quindi n=8
Il sottoinsieme è formato da 6 elementi, quindi k=6

E' importante l'ordine in quanto un posto ad esempio accanto al finestrino è diverso da uno accanto alla porta, quindi sono disposizioni.
Passiamo allora al calcolo:

5. Sapendo che ad un torneo calcistico partecipano 20 squadre, determinare quanti sono gli incontri che verranno disputati fra primo e secondo girone.

Per rispondere segui il seguente ragionamento:
"Le squadre sono 20 pertanto n=20 k=20  , queste giocano in gruppi di due per volta pertanto n=2 k=2  . L'ordine è non è   importante, pertanto la soluzione è C20,2 D20,2  = 380 190  "

Passiamo ad un altro esempio:
Determinare il numero delle quaterne che si possono formare con i novanta numeri del lotto.

Siamo nel caso in cui n=90 e k=4
L'ordine non è importante in quanto ad esempio la quaterna 10,2,5,45 è uguale alla quaterna 2,45,5,10
pertanto siamo davanti a combinazioni semplici

6. In uno stato in cui si verificano continue crisi di governo esistono 20 partiti,per eleggere i ministri si segue la seguente regola:si estraggono a sorte 12 fra i 20 leaders dei partiti. Sapendo che ogni ministro può ricoprire solo un incarico, determinare quante sono le possibili dozzine di ministri estraibili a sorte.

Per rispondere segui il seguente ragionamento:
"Dato che esistono 20 partiti possiamo dedurre che k=20 n=20  , essendo il governo formato da 12 ministri possiamo dedurre che k=12 n=12  , l'ordine è non è  importante pertanto sono Combinazioni semplici Disposizioni semplici  .Il numero delle possibili dozzine di ministri estraibili a sorte è 6.033.1012 125970  

Passiamo ora ad un ultimo esempio:

Determinare tutti gli anagrammi della parola LIBRO.
Quanti di essi iniziano con una vocale?

1) Per determinare gli anagrammi della parola LIBRO basterà valutare in quanti modi possono essere disposte tutte le 5 lettere  "L"  "I"  "B"  "R"  "O".Per fare questo è sufficiente calcolare il numero delle permutazioni semplici di 5 elementi:
P₅=5!=5^.4^.3^.2^.1=120
2) Per determinare quanti di essi iniziano con una vocale dobbiamo analizzare due casi:
Per trovare quanti iniziano con la lettera "I" basterà trovare gli anagrammi della parola LBRO che sono P₄
Per trovare quanti iniziano con la lettera "O" basterà trovare gli anagrammi della parola LIBR che sono P₄
Trovare quanti iniziano con una vocale è come dire trovare quanti iniziano con la lettera "I" o quanti iniziano con la lettera "O" .
N°totale=P₄+P₄=24+24=48

7. Sei persone hanno a disposizione 6 sedie.
In quanti modi diversi le possono occupare?

   

8. Risolvi i seguenti esercizi di riepilogo.
Se non ti ricordi più le formule clicca sul bottone FORMULE

    496 1575 15 120 60 Quante partite di scacchi diverse possono essere giocate da 6 giocatori?
    496 1575 15 120 60 Quanti numeri di 3 cifre tutte distinte si possono formare con i numeri 3,5,6,7,9?
    496 1575 15 120 60 Quanti anagrammi si possono formare con la parola VERSO?
    496 1575 15 120 60 In un parcheggio vi sono 32 posti macchina. Supposto che all'apertura del parcheggio parcheggino , a caso, 30 macchine, determina in quanti modi possono restare liberi gli altri due posti.
    496 1575 15 120 60 Un'urna contiene 10 palline rosse e 15 palline gialle. Determina in quanti modi posso estrarre 4 palline dello stesso colore.

Passiamo ora ad analizzare i raggruppamenti con ripetizione.

DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE:
Dati n oggetti distinti, si definiscono disposizioni con ripetizione di classe k tutti i raggruppamenti che si possono formare con gli n oggetti dati, in ciascuno dei quali lo stesso oggetto può ripetersi fino a k volte in modo che due raggruppamenti differiscano per almeno un elemento, per l'ordine o per la ripetizione.
( Da osservare che , mentre nelle disposizioni semplici k è sempre minore di n, in quelle con ripetizione può aversi anche k>n )

La formula che ci permette di calcolarle è la seguente

D'_n,k=n^k

Esempio:
Determinare quanti sono i diversi possibili risultati ottenibili lanciando una moneta per 20 volte

In questo caso possiamo pensare a due oggetti (Testa e Croce) , pertanto n=2
Lanciando la moneta 20 volte deduciamo che k=20
L'ordine è importante, pertanto otteniamo
D'_2,20=2²⁰=1048576

9. Determina il numero di colonne diverse che si possono giocare al Totocalcio.

    D_13,3
    D_3,13
    D'_13,3
    D'_3,13

PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE

Nel caso in cui k=n ed a,b... degli n oggetti siano identici, si parlerà di permutazioni con ripetizione.

La formula che ci permette di calcolarle è la seguente:



Esempio:
Trovare tutti gli anagrammi della parola  GEROGLIFICO
La parola è composta da 11 lettere, da cui n=11
La lettera G si ripete 2 volte, da cui a=2
La lettera O si ripete 2 volte, da cui b=2
La lettera I  si ripete 2 volte, da cui g=2
risulta allora

10. Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali false.

	V	F
			Gli anagrammi della parola TORINO sono 360

COEFFICIENTI  BINOMIALI

Per indicare le combinazioni semplici di n oggetti di classe k, si usa anche il simbolo

( che si legge n su k ).

Diamo ora alcune proprietà dei coefficienti binomiali:






Calcoliamo quanto vale 30 su 28

11. Calcola quanto vale:


   

Guardiamo ora come si risolvono le equazioni con coefficienti binomiali



Per prima cosa dobbiamo fare il campo d'esistenza:

Risolviamo quindi il sistema di disequazioni ottenuto

Accetteremo pertanto come soluzioni solo i numeri interi  x>3

L'equazione assegnata può anche essere scritta nel seguente modo

Svolgiamo i calcoli  e otteniamo

Questa equazione di secondo grado ci fornisce le soluzioni
x=0 e x=3
Confrontate queste due soluzioni con il campo d'esistenza si deduce che solo x=3 è accettabile

12. Risolvere la seguente equazione:

Per rispondere esattamente segui il seguente ragionamento
"Il campo d'esistenza del primo termine è x>4 x<4 x>=4 x>=-4  , il campo d'esistenza del secondo termine è x>3 x>=3 x>-3 x>=-3  , pertanto risolvendo il sistema di disequazioni otteniamo che il campo d'esistenza dell'equazione è x>=3 x>=-3 x>4 x>=4  .L'equazione può essere scritta nella forma 4Dx-2,2=Cx,3 4Cx-2,2=Dx,3 4Cx-2,2=Cx,3 4Dx-2,2=Dx,3  , svolgendo i calcoli otteniamo l'equazione finale (x-2)(-x²+13x-36)=0 (x+2)(-x²+13x-36)=0 (x-2)(-x²-13x-36)=0 (x-2)(x²+13x-36)=0  , che fornisce come soluzioni x=-2 x=9 x=4 x=2 x=-9 x=4 x=2 x=9 x=-4 x=2 x=9 x=4  .Confrontando le soluzioni con il campo d'esistenza otteniamo che l'eqauzione ammette come soluzione x=-4 x=9 x=4 x=-9 x=4 x=9 x=-4 x=-9  "

Risolviamo ora un'altra equazione:


Come nell'altra equazione analizzata, la prima cosa che dobbiamo fare è il campo d'esistenza:

Questo sistema ha come soluzione:

che fornisce come soluzione tutti i numeri interi x>3

Svolgiamo adesso i calcoli:


Raccogliendo a fattor comune x(x+1) e facendo il mcm 28 otteniamo



Questa equazione ammette come soluzioni
x=0
x+1=0  cioè x=-1


Confrontando queste soluzioni con il campo d'esistenza osserviamo che l'unica soluzione accettabile è x=5

13. Risolvi la seguente equazione


Per rispondere esattamente segui il seguente ragionamento:
"La prima cosa da fare è il campo d'esistenza del termine a sinistra, che è x>0 x>=0 x>2 x>=2  .Applicando la definizione di siposizioni semplici possiamo dire che D_x,2= x(x+1) x(x+1)/2 x(x-1) x(x-1)/2  .Svolgiamo i calcoli  e otteniamo x²+x-56=0 x²-x-56=0 x²+x+56=0 x²-x+56=0  .L'equazione ottenuta ammette come soluzioni x= 8 e x=-7 x= -8 e x=-7 x= -8 e x=7 x= 8 e x=7  .Confrontando queste soluzioni con il campo d'esistenza otteniamo che l'equazione assegnata ammette come soluzione x=8 x=7 x=-8 x=-7  "

Analizziamo ora la formula dello sviluppo della potenza del binomio



Calcoliamo lo sviluppo del binomio   (2a³-3a²)⁵

14. Sviluppa il seguente binomio

Aiutati riempendo la seguente tabella ( se non ti ricordi più la formula clicca sul bottone BINOMIO )

Primo termine	Secondo termine	Terzo termine	Quarto termine	Quinto termine
16x^16 16x^8 64x^16 64x^8	32x^16 32x^10 32x^15 8x^16	16x^14 16x^12 24x^12 24x^14	8x^13 4x^10 8x^10 4x^13	4x^12 x^12 4x^7 x^7

15. Determina n sapendo che il coefficiente del terzo termine dello sviluppo del binomio

è 30.

   

Facciamo ora qualche esercizio di ripasso sul calcolo combinatorio

16. In una classe di 22 studenti, di cui 12 femmine e 10 maschi, si deve formare un gruppo costituito da 3 maschi e da 3 femmine.In quanti modi si può formare il gruppo?

Rispondi inserendo le varie risposte richieste:
Dobbiamo scegliere 3 femmine su 12, l'ordine è non è  importante, pertanto D C  _12,3= 
Dobbiamo scegliere 3 maschi su 10, l'ordine è non è   importante, pertanto C D  _10,3= 
Il gruppo deve essere composto da 3 maschi e 3 femmine  e quindi i modi possibili sono  

17. Qunati sono gli anagrammi della parola    REGISTRATORE ?

   

18. Risolvere la seguente equazione:

(Scrivi solo il risultato numerico ottenuto)

   

19. Determina n sapendo che il coefficiente del terzo termine dello sviluppo del binomio

è 84.

   

20. Calcola quanto vale

Per rispondere esattamente riempi il seguente schema
D_10,2= ^. = 
P₃= != 
C_5,2=  ^. / = 

D'_3,2=  = 
Il risultato finale è pertanto:  

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