La Quadratura del cerchio

Dinostrato dimostra la possibilità di quadrare il cerchio con la trisettrice di Ippia.

La quadratura del cerchio è un classico problema di matematica, o più precisamente di geometria. Il problema è quello di costruire, usando solo riga e compasso, un quadrato con la stessa area o lo stesso perimetro di un dato cerchio.
Il problema risale all’invenzione della geometria, e ha tenuto occupati i matematici per secoli. Fu solo nel 19° secolo che provata la sua intrattabilità. Tuttavia Dinostrato nel 4° secolo a.C. era riuscito a trovare una soluzione a questo problema utilizzando la curva di Ippia, detta anche trisettrice, in quanto creata per dividere in tre parti uguali un angolo.

Tramite questa curva è facile, infatti, dividere in tre parti uguali un angolo assegnato ma anche determinare il lato del quadrato equivalente ad un cerchio.
La curva si ottiene facendo traslare in modo uniforme il segmento AB fino a farlo coincidere con DC; e nello stesso tempo facendo ruotare uniformemente il segmento DA fino a farlo coincidere con DC. Il luogo dei punti di intersezione dei due segmenti durante il loro movimento è la trisettrice.
Per costruirla però non è possibile utilizzare né riga né compasso, è possibile farlo solo con un adeguato meccanismo.

Mettiamoci ora nei panni di Dinostrato e sfruttiamo una strategia tipica del pensiero matematico greco: per dimostrare che due grandezze sono uguali facciamo vedere che l’una non può essere né maggiore né minore dell’altra.
Facendo riferimento alla figura qui accanto, vogliamo dimostrare che il segmento AB è medio proporzionale tra l’arco del quarto di cerchio AC e il segmento DQ. Dove Q è il punto terminale della squadratrice, ovvero che:

1- Assumiamo, per cominciare, che con DR>DQ; DR sarà il raggio della circonferenza di centro D che interseca la curva in S e il lato AD in T, mentre SU sarà la proiezione di S sul lato DC. Come a suo tempo Dimostrato, noi sappiamo che archi corrispondenti di cerchi stanno tra loro come i rispettivi raggi cioè:

Uguaglianza che, confrontata con l’ipotesi iniziale, permette di concludere che l’arco TR ha la stessa lunghezza del lato AB. Ma se ricordiamo la proprietà che definisce la squadratrice, ovvero:

Allora siamo costretti ad ammettere che anche l’arco SR ha la stessa lunghezza del segmento SU, il che è palesemente impossibile.

2- Consideriamo , allora, l’ipotesi contraria: , dove DR<DQ.
Il ragionamento da seguire procede di pari passo e ci porta ad escludere anche questa eventualità, per cui non rimane che accettare l’uguaglianza tra DR e DQ e dimostrare così il teorema.